[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1962年(昭和37年)東京大学-数学(理科)[4]

2022.02.18記

[4] 無限級数 \dfrac{r}{1-r^2}+\dfrac{r^2}{1-r^4}+\dfrac{r^4}{1-r^8}+\cdots\cdots+\dfrac{r^{2^{n-1}}}{1-r^{2^n}}+\cdots\cdots の和を求めよ．ただし |r|\neq 1 とする．

2022.02.18記
入試問題だから階差が \dfrac{r^{2^{n-1}}}{1-r^{2^n}} となる数列が見つかるはず，と考える．

[解答]
a_n=\dfrac{r^{2^{n-1}}}{1-r^{2^n}}，b_n=\dfrac{1}{1-r^{2^{n-1}}} とおくと
b_{n+1}-b_n=\dfrac{1}{1-r^{2^n}}-\dfrac{1}{1-r^{2^{n-1}}}=\dfrac{1-(1+r^{2^{n-1}})}{1-r^{2^n}}=-a_n
だから，
\dfrac{r}{1-r^2}+\dfrac{r^2}{1-r^4}+\dfrac{r^4}{1-r^8}+\cdots\cdots+\dfrac{r^{2^{n-1}}}{1-r^{2^n}}=b_1-b_{n+1}
が成立する．

ここで \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = \left\{\begin{array}{ll} 1 & |r|\lt 1, \\ 0 & |r|\gt 1 \end{array}\right.
だから求める和は
\left\{\begin{array}{ll} b_1-1=\dfrac{r}{1-r} & |r|\lt 1, \\ b_1-0=\dfrac{1}{1-r} & |r|\gt 1 \end{array}\right.
となる．