1961年(昭和36年)東京大学-数学(文科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.28記

[5] 曲線 $y =\sqrt{1+x^2}$ の上に3 点 $\rm P$ ， $\rm A$ ， $\rm Q$ があり，そのx 座標がそれぞれ $a−h$ ， $a$ ， $a+h$ （ $h\gt 0$ ）であるとする．いま $\rm A$ をとおり， $x$ 軸に垂直な直線が線分 $\rm PQ$ と交わる点を $\rm B$ とし，線分 $\rm AB$ の長さを $l$ とするとき， $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{l}{h^2}$ を $a$ をもちいてあらわせ．

2020.11.23記
差分と微分

[大人の解答]
$\Delta_h[f(x)] = f(x+h)-f(x)$ とおくと $\dfrac{\Delta_h}{h}$ は $h\to 0$ で微分演算子 $\dfrac{d}{dh}$ になる．

$\dfrac{l}{h^2}=\dfrac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{2h^2}$ $=\dfrac{\Delta_h[f(a)]-\Delta_h[f(a-h)]}{2h^2}$ $=\dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta_h[\Delta_h[f(a-h)]]}{h^2}$ $=\dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta_h}{h}\Bigl[\dfrac{\Delta_h}{h} [f(a-h) ]\Bigr]$
と2階差分で表現でき， $h\to 0$ の極限は $\dfrac{1}{2}f''(a)$ となる．

よって $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{l}{h^2}$ $=\dfrac{1}{2(1+a^2)^{3/2}}$ ．

2022.02.18記
平均値の定理により
$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a+ch)$
なる $c\in(0,1)$ が存在し， $c$ は $h$ の関数である．このとき，
$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a+ch)$
の左辺は
$f'(a+ch)=f'(a)+\dfrac{f''(a)}{2}h+o(h^2)$
と展開され，右辺は
$f'(a+ch)=f'(a)+f''(a)(ch)+o(h^2)$
と展開されるので， $h\to 0$ で $c\to\dfrac{1}{2}$ である．

このことは，関数を放物線近似すると，割線と接線が平行になるのは中点の場所という放物線の良く知られた性質になることに他ならない。

よって
$\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{l}{h^2}$ $=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{2}\dfrac{\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}-\dfrac{f(a)-f(a-h)}{h}}{h}$ $\displaystyle=\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{2}\dfrac{f'(a+c_1h)-f'(a-c_2h)}{h}$
$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\dfrac{c_1+c_2}{2}\cdot \dfrac{f'(a+c_1h)-f'(a-c_2h)}{(c_1+c_2)h}$ $=\dfrac{(1/2)+(1/2)}{2}\cdot f''(a)$ $\displaystyle=\dfrac{1}{2}f''(a)$ $=\dfrac{1}{2(1+a^2)^{3/2}}$ ．
（ $c_1\in (0,1)$ ， $c_2\in (0,1)$ ）
となる．

テーラー展開で
$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\dfrac{f''(a)}{2}h^2+o(h^3)$ ，
$f(a-h)=f(a)-f'(a)h+\dfrac{f''(a)}{2}h^2+o(h^3)$
から
$\dfrac{l}{h^2}=\dfrac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{2h^2}=\dfrac{f''(a)}{2}+o(h)$
としても良い．