1962年(昭和37年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.18記

[6] 曲線 $y=6\sin\dfrac{x}{6}$ の上で $x=2\pi，x=6\pi$ なる点をそれぞれ $\rm P，Q$ とし，点 $\rm P，Q$ における曲線の接線の交点を $\rm R$ とする．このとき

(i) $\rm R$ の座標を求めよ．

(ii) 線分 $\rm PR，QR$ と上の曲線とで囲まれる図形の面積を求めよ．

2022.02.18記

[解答]
(i) $y'=\cos\dfrac{x}{6}$ により，点 $\rm P，Q$ における曲線の接線はそれぞれ
$y=\dfrac{x}{2}-\pi+3\sqrt{3}$ ， $y=\dfrac{4x}{3}+2\sqrt{3}$
だから，この交点を求めて ${\rm R}\left(\dfrac{14}{3}\pi-2\sqrt{3},\dfrac{4}{3}\pi+2\sqrt{3}\right)$ となる．

(ii) ${\rm S}(2\pi,0)$ とおくと四辺形 $\rm PQRS$ の面積は台形と三角形の面積の和と考えて
$\dfrac{1}{2}\left(3\sqrt{3}+\dfrac{4}{3}\pi+2\sqrt{3}\right)\left(\dfrac{14}{3}\pi-2\sqrt{3}-2\pi\right)$ $+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{3}\pi+2\sqrt{3}\right)\left(6\pi-\dfrac{14}{3}\pi+2\sqrt{3}+2\pi\right)$ $=\dfrac{8}{3}\pi^2+8\sqrt{3}\pi-9$
となる．

よって求める面積は
$\dfrac{8}{3}\pi^2+8\sqrt{3}\pi-9-\displaystyle\int_{2\pi}^{6\pi} 6\sin\dfrac{x}{6}dx$ $=\dfrac{8}{3}\pi^2+8\sqrt{3}\pi-63$