1963年(昭和38年)東京大学-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.19記

[3] $f(x)=\dfrac{4x-2}{5-x}$ （ $x\neq 5$ ）とするとき

(1) $y=f(x)-x$ のグラフをかけ．

(2) $f(x)-x$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(3) $f(x)\gt x$ となる $x$ の範囲を求めよ．

2022.02.19記

[解答]
(1) $f(x)-x=-x-4-\dfrac{18}{x-5}$
を $x$ 軸方向に $5$ ， $y$ 軸方向に $9$ 平行移動したグラフは
$Y=-X-\dfrac{18}{X}$
となり，このグラフの増減は

となる．

(図示略)

(2) グラフから $f(x)-x\leqq -9-6\sqrt{2}$ ， $-9+6\sqrt{2}\leqq f(x)-x$

(3) $f(x)-x=0$ なる $x$ は
$-x-4-\dfrac{18}{x-5}=0$
つまり
$(x+4)(x-5)+18=x^2-x-2=(x+1)(x-2)=0$
から $x=-1,2$ である．

これとグラフから $x\lt -1$ ， $2\lt x\lt 5$ となる．

$y=x+\dfrac{k}{x}$ のグラフは常識としたい。