2002年(平成14年)東京大学後期-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.13記

[1] 実数全体で定義された関数 $f(x)=xe^{-x^3}$ を考える．

(1) $f(x)$ の増減・凹凸を調べ $f(x)$ のグラフの概形を図示せよ．

(2) 正の数 $C$ に対して $y=f(x)$ と $x$ 軸，および $x=C$ で囲まれた領域を $D_1$ とする． $D_1$ を $x$ 軸のまわりに回転させてえられる立体の体積を $V_1(C)$ とおくとき $\displaystyle\lim_{C\to\infty} V_1(C)$ を求めよ．

(3) $y=f(x)$ の $x\geqq 0$ における最大値を $M$ とするとき $y=f(x)$ と $y$ 軸，および $y=M$ で囲まれた領域を $D_2$ とおく． $D_2$ を $y$ 軸のまわりに回転させてえられる立体の体積 $V_2$ を求めよ．

[2] $xyz$ 空間において次のような3つの互いに合同な長方形 $L_1$ ， $L_2$ ， $L_3$ を考える．

$\bullet$ $L_1$ は $xy$ 平面に含まれ， $\mbox{P}_1(a,b,0)$ ， $\mbox{Q}_1(-a,b,0)$ ， $\mbox{R}_1(-a,-b,0)$ ， $\mbox{S}_1(a,-b,0)$ を頂点とする．

$\bullet$ $L_2$ は $yz$ 平面に含まれ， $\mbox{P}_2(0,a,b)$ ， $\mbox{Q}_2(0,-a,b)$ ， $\mbox{R}_2(0,-a,-b)$ ， $\mbox{S}_2(0,a,-b)$ を頂点とする．

$\bullet$ $L_3$ は $zx$ 平面に含まれ， $\mbox{P}_3(b,0,a)$ ， $\mbox{Q}_3(b,0,-a)$ ， $\mbox{R}_3(-b,0,-a)$ ， $\mbox{S}_3(-b,0,a)$ を頂点とする．

ここで $a\gt b\gt c$ とする．このとき次の問に答えよ．

(1) $\triangle\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ の面積，および $\triangle\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ と原点 $\mbox{O}$ との距離を求めよ．

(2) 四面体 $\mbox{OP}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ および四面体 $\mbox{OP}_1\mbox{P}_2\S_2$ の体積をそれぞれ求めよ．

(3) $L_1$ ， $L_2$ ， $L_3$ の $12$ 頂点から $3$ 点を選び三角形をつくる．このとき $\triangle\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ または $\triangle\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{S}_2$ と合同な三角形が $20$ 個えられる．これらの三角形で囲まれる二十面体を $D$ とする． $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{4}$ なる $\theta$ に対して
$a=\cos\theta$ ， $b=\sin\theta$
とおくとき $D$ の体積 $V$ を $t=\tan\theta$ の関数 $V(t)$ として表せ．

(4) $0\lt t\lt 1$ において $V(t)$ は最大値をとることを示し，そのとき $t$ の値を求めよ．

[3] 区間 $[0,1]$ において関数 $f(x)$ を
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2x & \displaystyle \left( x\leqq\dfrac{1}{2} \right) \\ -2x+2 & \displaystyle \left( x\gt \dfrac{1}{2} \right)\end{array}\right.$
とおく． $0\leqq a_1 \leqq 1$ を満たす
実数 $a_1$ を初期値として数列 $\{a_n\}$ を
$a_n=f(a_{n-1})$ （ $n=2，3，…$ ）
で定める．このとき次の問に答えよ．