1993年(平成5年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.07記

[6] 時刻 $t$ における座標が $x=2\cos t+\cos 2t$ ， $y=\sin 2t$ で表される $xy$ 平面上の点 $\mbox{P}$ の運動を考える．

(1) $\mbox{P}$ の速さ，すなわち速度ベクトル $\left(\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}\right)$ の大きさ，の最大値と最小値を求めよ．

(2) $t$ が $0\leqq t\lt 2\pi$ の範囲を動く間に $\mbox{P}$ が $2$ 回以上通過する点が唯一つ存在することを示し，その点を通過する各々の時刻での速度ベクトルを求め図示せよ．

2024.01.09記

[解答]
$\dfrac{dx}{dt}=-2\sin t-2\sin 2t$ ， $\dfrac{dy}{dt}=2\cos 2t$
であるから， $\vec{v}(t):=\left(\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}\right)$ とおくと
$|\vec{v}(t)|^2=(-2\sin t-2\sin 2t)^2+(2\cos 2t)^2$ $=4\{(-\sin t-\sin 2t)^2+\cos^2 2t\}$ $=4(\sin^2 t+2\sin t\sin 2t+1)$ $=4\{1-\cos^2 t+4\cos t(1-\cos^2 t)+1\}$ $=4(-4\cos^3 t-\cos^2 t+4\cos t +2):=4f(\cos t)$
である．
$f'(u)=-12u^2-2u+4=-2(3s+2)(2s-1)$
より増減表は

$u$	$-1$	$\cdots$	$-\dfrac{2}{3}$	$\cdots$	$\dfrac{1}{2}$	$\cdots$	$1$
$f'$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f$	$1$	$\searrow$	$\dfrac{2}{27}$	$\nearrow$	$\dfrac{13}{4}$	$\searrow$	$1$

となるので， $f(u)$ の最大値は $\dfrac{13}{4}$ ，最小値は $\dfrac{2}{27}$ となり，よって
$|\vec{v}(t)|$ の最大値は $\sqrt{13}$ ，最小値は $\dfrac{2\sqrt{6}}{9}$ となる．

(2) $x(2\pi-t)=x(t)$ ， $y(2\pi-t)-y(t)$ により， $0\leqq t\leqq \pi$ のときの軌跡を考え，それとそれを $y$ 軸について対称移動させたものとなるので，まずは $0\leqq t\leqq \pi$ のときの軌跡を考える．

$\dfrac{dx}{dt}=-2\sin t-2\sin 2t=-2(1+2\cos t)\sin t=0$ となるのは $t=0,\dfrac{2\pi}{3},\pi$ ，
$\dfrac{dy}{dt}=2\cos2 t=0$ となるのは $t=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}$ となる．

また曲線を $x$ 軸について対称移動させることから $x$ 軸との交点を求めると $y=0$ から $t=0,\dfrac{\pi}{2},\pi$ となる．

よって増減表は

$t$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\cdots$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\cdots$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\cdots$	$\pi$
$dx/dt$	$0$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$0$
$x$	$0$	$\leftarrow$	$\leftarrow$	$\leftarrow$	$\leftarrow$	$\leftarrow$	$0$	$\rightarrow$	$\rightarrow$	$\rightarrow$	$0$
$dy/dt$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$
$y$	$\uparrow$	$\uparrow$	$0$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$0$	$\uparrow$	$\uparrow$
$(x,y)$	$(3,0)$	⤴	$(\sqrt{2},1)$	⤴	$(-1,0)$	⤴	$\left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\right)$	⤴	$(-\sqrt{2},-1)$	⤴	$(-1,0)$

となる．ここで
$\dfrac{d^2x}{dt^2}=-2\cos t-4\cos 2t$ ， $\dfrac{d^2y}{dt^2}=-4\sin2 t$
から
$\dfrac{dx}{dt}\cdot \dfrac{d^2y}{dt^2}-\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{d^2x}{dt^2}$
$=(-2\sin t-2\sin 2t)(-4\sin2 t)-2\cos2 t\cdot(-2\cos t-4\cos 2t)$
$=8\sin t\sin 2t+4\cos t \cos 2t+8$
$=4\sin t\sin 2t+4\cos t+8\gt 0$
（ $\sin t\sin 2t$ と $\cos t$ は同時に $-1$ にはならない）
が常に成立するので，曲線は常に左に曲っていることに注意すると， $\mbox{P}$ の軌跡は次図のようになる．

よって点 $\mbox{P}$ が2回以上通過する点は $(-1,0)$ に限ることが示された．
このとき $t=\dfrac{\pi}{2}$ ， $\pi$ ， $\dfrac{3\pi}{2}$ であり，それぞれの $\vec{v}(t)$ は
$(-2,-2)$ ， $(0,2)$ ， $(2,-2)$ となる（図示略）