2002年(平成14年)東京大学後期-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.18記

2024.02.13記

[1] 実数全体で定義された関数 $f(x)=xe^{-x^3}$ を考える．

(1) $f(x)$ の増減・凹凸を調べ $f(x)$ のグラフの概形を図示せよ．

(2) 正の数 $C$ に対して $y=f(x)$ と $x$ 軸，および $x=C$ で囲まれた領域を $D_1$ とする． $D_1$ を $x$ 軸のまわりに回転させてえられる立体の体積を $V_1(C)$ とおくとき $\displaystyle\lim_{C\to\infty} V_1(C)$ を求めよ．

(3) $y=f(x)$ の $x\geqq 0$ における最大値を $M$ とするとき $y=f(x)$ と $y$ 軸，および $y=M$ で囲まれた領域を $D_2$ とおく． $D_2$ を $y$ 軸のまわりに回転させてえられる立体の体積 $V_2$ を求めよ．

2021.01.17記

[解答]
(1) $f'(x)=(1-3x^2)e^{-x^3}$ ， $f'’(x)=-3x^2(4-3x^2)e^{-x^3}$ により，

増減表は

$x$	$-\infty$	…	$0$	…	$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$	…	$\dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{3}}$	…	$\infty$
$f'(x)$	$\infty$	$+$		$+$	$0$	$-$		$-$	$0$
$f''(x)$	$-\infty$	$-$	$0$	$-$		$-$	$0$	$+$	$0$
$f(x)$	$-\infty$	↱	$0$	↱	$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3e}}$	⤵	$\dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{3e^4}}$	↳	$0$

となるので，これを利用して図示すれば良い．

(2) $V_1(C)=\pi\displaystyle\int_0^C \{f(x)\}^2 dx$ $=\pi\displaystyle\int_0^C x^2e^{-2x^3}dx$ $=\pi\Bigl[-\dfrac{1}{6}e^{-2x^3}\Bigr]_0^C$ $=\dfrac{\pi}{6}(1-e^{-2C^3})\to \dfrac{\pi}{6}$ （ $C\to+\infty$ ）

(3) $\alpha=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$ とおくと，バームクーヘン積分より
$V_2=\pi\alpha^2\cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{3e}}-\displaystyle\int_0^{\alpha} 2\pi x f(x) dx$ $=\dfrac{\pi}{3\sqrt[3]{e}}-\displaystyle\int_0^{\alpha} 2\pi x^2 e^{-x^3} dx$ $=\dfrac{\pi}{3\sqrt[3]{e}}+\Bigl[ \dfrac{2\pi}{3} e^{-x^3}\Bigr]_0^{\alpha}$ $=\dfrac{\pi}{3\sqrt[3]{e}}+\dfrac{2\pi}{3\sqrt[3]{e}}-\dfrac{2\pi}{3}$ $=\dfrac{\pi}{\sqrt[3]{e}}-\dfrac{2\pi}{3}$