1965年(昭和40年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.28記

[1] ある都市でA，B，C 三種類の新聞が発行されている．その都市の世帯で

A を購読しているものの割合は69％，
B を購読しているものの割合は46％，
C だけを購読しているものの割合は3 ％，
B，C の両方を購読しているものの割合は21％，
A，C の少なくとも一方を購読しているものの割合は88％，
B，C の少なくとも一方を購読しているものの割合は50％，
A，B，C のうちどれか一種類だけを購読しているものの割合は61％

である．このとき
(1) A だけを購読しているものの割合，
(2) B だけを購読しているものの割合，
(3) A，B，Cすべてを購読しているものの割合，
(4) A，B，Cのどれも購読していないものの割合
を求めよ．

[2] A，B，Cを3つの山頂とする。Aから見ると，Cは真北より東10°の方向にあって仰角15°であり，Bから見ると，C は真北より西20°の方向にあって仰角30°である．また，BからAを見る仰角は30°である．A，Bの高さがそれぞれ海抜1600 m，1210 mであるとすれば，Cの高さは海抜何メートルか． $\sqrt{3}=1.732$ として計算し，1 m 未満は四捨五入せよ．

[3] 直線 $l$ は双曲線 $xy=1$ の第一象限にある部分に接し， $l$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は2より小さくないとする．この条件のもとで $l$ が変動するとき，四直線 $l$ ， $y=0$ ， $x=1$ および $x2$ で囲まれる部分の面積の最大値を求めよ．

[4] 右図において $\rm ACB$ は長さ2の線分 $\rm AB$ を直径とし， $\rm O$ を中心とする半円周， $\rm P$ は $\rm AB$ に垂直な半径 $\rm OC$ 上の動点とする．
$k$ を正の定数とし，線分 $\rm PO$ を $k:1$ に内分する点 $\rm Q$ を通って $\rm AB$ に平行な弦を $\rm RS$ とすれば， $\rm P$ をどこにとったとき四辺形 $\rm ROSP$ の面積が最大になるか．

図

[5] 曲線 $y=3\sin 2x+\cos 3x$ の $0\lt x\lt \pi$ の範囲にある部分の接線のうち，直線 $3x+y=0$ に平行なものの方程式を求めよ．

[6] 右の図は半径の長さ1の半円で，弦 $\rm AP$ ， $\rm AQ$ と直径 $\rm AB$ とのつくる角はそれぞれ30°，60°である．このとき，弦 $\rm AP$ ， $\rm AQ$ と円弧 $\rm PQ$ とで囲まれる部分を直径 $\rm AB$ のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．