1965年(昭和40年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.28記

[2] A，B，Cを3つの山頂とする．Aから見ると，Cは真北より東10°の方向にあって仰角15°であり，Bから見ると，C は真北より西20°の方向にあって仰角30°である．また，BからAを見る仰角は30°である．A，Bの高さがそれぞれ海抜1600 m，1210 mであるとすれば，Cの高さは海抜何メートルか． $\sqrt{3}=1.732$ として計算し，1 m 未満は四捨五入せよ．

2022.05.01記

[解答]
${\rm C}$ の高さを $1600+h$ m とする．

${\rm A}$ ， ${\rm B}$ ， ${\rm C}$ の真下の海抜0m地点を ${\rm P}$ ， ${\rm Q}$ ， ${\rm R}$ とすると $\angle{\rm PRQ}=30^{\circ}$ である．

${\rm PQ}=r$ ， ${\rm QR}=p$ ， ${\rm RP}=q$ とおくと余弦定理により
$r^2=p^2+q^2-\sqrt{3}pq$
となる，

${\rm A}$ からみた ${\rm C}$ の仰角が $15^{\circ}$ であるから $q\tan 15^{\circ}= h$ ，
${\rm B}$ からみた ${\rm C}$ の仰角が $30^{\circ}$ であるから $p\tan 30^{\circ}= h+390$ ，
${\rm B}$ からみた ${\rm A}$ の仰角が $30^{\circ}$ であるから $r\tan 30^{\circ}= 390$ ，
であるから $k=\tan 75^{\circ}=\dfrac{1}{\tan 15^{\circ}}=2+\sqrt{3}$ ， $A=390$ とおくと
$q= kh$ ， $p=\sqrt{3}(h+A)$ ， $r= \sqrt{3}A$ ，
が成立する．ここで
$p-r=\sqrt{3} h$
となることに注意すると，
$(\sqrt{3}p-q)q=(p-r)(p+r)$
から
$(3(h+A)-kh) kh=\sqrt{3} h\cdot \sqrt{3}(h+2A)$
なり， $h\neq 0$ （∵ $q\neq 0$ ）から
$(2+\sqrt{3})\bigl((1-\sqrt{3})h+3A\bigr)=3(h+2A)$
となり，整理して
$h=\dfrac{3\sqrt{3}A}{4+\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}(4-\sqrt{3})A}{13}$
$=(4\sqrt{3}-3)90=353.52\cdots$
よって，Cの高さは海抜1954メートル