1965年(昭和40年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.28記

[1] ある都市でA，B，C 三種類の新聞が発行されている．その都市の世帯で

A を購読しているものの割合は69％，
B を購読しているものの割合は46％，
C だけを購読しているものの割合は3 ％，
B，C の両方を購読しているものの割合は21％，
A，C の少なくとも一方を購読しているものの割合は88％，
B，C の少なくとも一方を購読しているものの割合は50％，
A，B，C のうちどれか一種類だけを購読しているものの割合は61％

である．このとき
(1) A だけを購読しているものの割合，
(2) B だけを購読しているものの割合，
(3) A，B，Cすべてを購読しているものの割合，
(4) A，B，Cのどれも購読していないものの割合
を求めよ．

2020.09.28記
Venn 図を買いて8個の領域に関する連立方程式を解けば良い．

(1) 48%
(2) 10%
(3) 5%
(4) 2%

となる．

2022.04.29記

[解答]
Aだけを購読している割合を％で $a$ ，
Bだけを購読している割合を％で $b$ ，
Cだけを購読している割合を％で $c$ ，
BとCだけを購読している割合を％で $d$ ，
CとAだけを購読している割合を％で $e$ ，
AとBだけを購読している割合を％で $f$ ，
A，B，Cを購読している割合を％で $g$ ，
どれも購読していない割合を％で $h$ ，
とする．このとき
$a+b+c+d+e+f+g+h=100$ …①，
$a+e+f+g=69$ …②，
$b+d+f+g=46$ …③，
$c=3$ …④，
$d+g=21$ …⑤，
$a+c+d+e+f+g=88$ …⑥，
$b+c+d+e+f+g=50$ …⑦，
$a+b+c=61$ …⑧
が成立する．
①，⑥から $b+h=12$ ，
①，⑦から $a+h=50$ ，
⑧，④から $a+b=58$
となるので，3式を加えて $a+b+h=60$ となり，
$a=48$ ， $b=10$ ， $h=2$
となり，残った連立方程式は
$e+f+g=21$ ， $d+f+g=36$ ， $d+g=21$ ， $d+e+f+g=37$ ，
となる． $d+g=21$ から
$e+f+g=21$ ， $f=15$ ， $e+f=16$ ，
となり，
$e+g=6$ ， $e=1$
から $g=5$ となる．

(1) 48%，(2) 10%，(3) 5% (4) 2%

となる．