1965年(昭和40年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.28記

[4] 右図において $\rm ACB$ は長さ2の線分 $\rm AB$ を直径とし， $\rm O$ を中心とする半円周， $\rm P$ は $\rm AB$ に垂直な半径 $\rm OC$ 上の動点とする．
$k$ を正の定数とし，線分 $\rm PO$ を $k:1$ に内分する点 $\rm Q$ を通って $\rm AB$ に平行な弦を $\rm RS$ とすれば， $\rm P$ をどこにとったとき四辺形 $\rm ROSP$ の面積が最大になるか．

図

2022.05.01記

[解答]
${\rm Q}(0,y)$ とおくと ${\rm P}(0,(k+1)y)$ であるから
$0\lt y\leqq \dfrac{1}{k+1}$
である．
四辺形 $\rm ROSP$ の面積は
$S(y)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-y^2} \cdot (k+1)y$ $=(k+1)\sqrt{(1-y^2)(y^2)}$
となる．

(i) $y^2=\dfrac{1}{2}$ となる $y$ が存在するとき：
$0\lt k\leqq\sqrt{2}-1$ であり， $S(y)$ は $y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ で最大となる．
このとき $\rm P$ の座標は $\left(0,\dfrac{\sqrt{2}(k+1)}{2}\right)$ である．