1965年(昭和40年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.28記

[3] 直線 $l$ は双曲線 $xy=1$ の第一象限にある部分に接し， $l$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は2より小さくないとする．この条件のもとで $l$ が変動するとき，四直線 $l$ ， $y=0$ ， $x=1$ および $x=2$ で囲まれる部分の面積の最大値を求めよ．

2020.09.28記
変分，いわゆるはみだしけずり論法を用いると，接点が $x=1，2$ の中点である $x=\dfrac{3}{2}$ のときに最大となる．このとき囲まれる部分の平均の高さは接点の $y$ 座標である $\dfrac{2}{3}$ であるから，求める面積は「幅×平均の高さ」の $\dfrac{2}{3}$ である．

2022.05.01記
上記の場合，はみだしけずり論法（変分）を使うまでもなく結論できる．

[解答]
四直線で囲まれる部分は台形であり，直線である $l$ の方程式を $y=l(x)$ とすると，その面積は
$\dfrac{l(1)+l(2)}{2}\cdot 1$ $=l\left(\dfrac{3}{2}\right)$
となる． $xy=1$ は下に凸であるから，その接線に対して
$l\left(\dfrac{3}{2}\right)\leqq \dfrac{2}{3}$
が成立し，等号が成立するときの $x$ 切片 $3$ は2より大きいので題意をみたす．

よって求める最大値は $\dfrac{2}{3}$

$y=f(x)$ が下に凸のとき， $x=\alpha$ における接線の方程式は
$y=f'(\alpha)(x-\alpha)+f(\alpha)$
であるから，題意の面積は
$S(\alpha)=f'(\alpha)\left(\dfrac{3}{2}-\alpha\right)+f(\alpha)$
となるので，
$S'(\alpha)=f''(\alpha)\left(\dfrac{3}{2}-\alpha\right)$
となるが， $y=f(x)$ が下に凸であるから $f''(\alpha)\gt 0$ となり， $\alpha=\dfrac{3}{2}$ の前後で $S'(\alpha)$ は符号が負から正へと変化するので極大となる．
（この結果は $f(x)$ が下に凸ならば必ず成立する）