1965年(昭和40年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.28記

[5] 曲線 $y=3\sin 2x+\cos 3x$ の $0\lt x\lt \pi$ の範囲にある部分の接線のうち，直線 $3x+y=0$ に平行なものの方程式を求めよ．

2020.09.28記
$y'=-3$ を倍角，3倍角の公式を利用すると $\sin x$ の3次方程式
$4\sin^3 x -4\sin^2 x-3\sin x+3=(\sin x-1)(4\sin^2 x-3)=0$
となるので、 $x=\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{2\pi}{3}$ だから，それらに対する接線を求めれば
$y=-3x+\dfrac{3}{2}\pi$ ， $y=-3x+\pi+\dfrac{3\sqrt{3}-2}{2}$ ， $y=-3x+2\pi-\dfrac{3\sqrt{3}-2}{2}$
となる．

2022.05.01記

[解答]
$3x+y=0$ に平行な直線の傾きは $-3$ であるから，
$y'=3(2\cos2x-\sin 3x)=-3$
となる．倍角，3倍角の公式から
$4\sin^3 x -4\sin^2 x-3\sin x+3=(\sin x-1)(4\sin^2 x-3)=0$
が成立するので，
$x=\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{2\pi}{3}$
だから，それらに対する接線を求めれば
$y=-3x+\dfrac{3}{2}\pi$ ，
$y=-3x+\pi+\dfrac{3\sqrt{3}-2}{2}$ ，
$y=-3x+2\pi-\dfrac{3\sqrt{3}-2}{2}$
となる．