1964年(昭和39年)東京大学-数学(文科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.04.23記

[5] 曲線 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ （ $a\neq 0$ ）と $y$ 軸との交点を ${\rm A}$ とする．この曲線上の点 ${\rm P}(x,y)$ における曲線の接線と $y$ 軸との交点を ${\rm Q}$ とするとき， $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{{{\rm AQ}}^2}{{{\rm AP}}^2}$ ， $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{{{\rm AQ}}^2}{{{\rm AP}}^2}$ を求めよ．

2022.04.25記
具体的に計算する方が簡単だが，敢えて理系の範囲でなるべく一般的に解いておく．

[解答] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とおく． ${\rm P}(t,f(t))$ とすると
${\rm A}(0,f(0))$ ， ${\rm Q}(f(t)-tf'(t))$
であるから
${\rm AP}^2=t^2+\{f(t)-f(0)\}^2$ ， ${\rm AQ}^2=\{f(t)-tf'(t)-f(0)\}^2$
となり，
$\dfrac{{\rm AQ}^2}{{\rm AP}^2}=\dfrac{\{f(t)-tf'(t)-f(0)\}^2}{t^2+\{f(t)-f(0)\}^2}$
となる．

平均値の定理により $f(t)-f(0)=tf'(c)$ なる $c\in(0,t)$ が存在するので，
$\dfrac{{\rm AQ}^2}{{\rm AP}^2}=\dfrac{\{f'(t)-f'(c)\}^2}{1+\{f'(c)\}^2}$
となり， $t\to 0$ で
$\dfrac{{\rm AQ}^2}{{\rm AP}^2}\to \dfrac{0}{1+\{f'(0)\}^2}=0$
となる．

また $t\to +\infty$ で
$\dfrac{{\rm AQ}^2}{{\rm AP}^2}$ $=\dfrac{\{f(t)-tf'(t)\}^2+(t\mbox{の5次以下})}{\{f(t)\}^2+(t\mbox{の5次以下})}$
$=\dfrac{4a^2t^6+(t\mbox{の5次以下})}{a^2t^6+(t\mbox{の5次以下})}$
$\to 4$
となる．