1971年(昭和46年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[5] $n$ を正の整数とし， $\left(\cos\dfrac{2\pi}{n}k,\sin\dfrac{2\pi}{n}k\right)$ を座標とする点を ${\rm Q}_k$ であらわす．
このとき， $n$ 個の点 $\rm Q_0，Q_1，\cdots，Q_{n-1}$ によって円周 $x^2+y^2=1$ は $n$ 等分される．

平面上の点 $\rm P$ の座標を $(a,b)$ とし，
$s_n=\dfrac{1}{n}({\overline{\rm PQ_0}}^2+\overline{\rm PQ_1}^2+\cdots+\overline{{\rm PQ}_{n-1}}^2)$
とするとき， $\displaystyle \lambda_{\rm P}=\lim_{n\to\infty}s_n$ の値を $a$ ， $b$ をもちいてあらわせ．
また， $\rm P$ がどこにあれば $\lambda_{\rm P}$ の値は最小となるか．

2021.10.08記

[解答]

$\overline{{\rm PQ}_k}^2=|\vec{\rm OP}|^2-2\vec{\rm OP}\cdot \vec{{\rm OQ}_k}+|\vec{{\rm OQ}_k}|^2$
$=1+a^2+b^2-2\vec{\rm OP}\cdot \vec{{\rm OQ}_k}$
である．正 $n$ 角形 ${\rm Q}_0{\rm Q}_1\cdots {\rm Q}_{n-1}$ の重心が原点であることから，
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \vec{{\rm OQ}_k}=\vec{0}$ に注意すると，
$\displaystyle s_n=1+a^2+b^2+\dfrac{1}{n}\vec{\rm OP}\cdot \sum_{k=1}^n \vec{{\rm OQ}_k}$ $=1+a^2+b^2$
となるので，
$\displaystyle \lambda_{\rm P}=1+a^2+b^2$ であり， $\lambda_{\rm P}$ の値が最小となるのは
$\rm P$ が原点のときである．