1992年(平成4年)東京大学前期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.07記

[3] $a$ ， $b$ を正の実数とする．座標空間の4点 $\mbox{P}(0,0,0)$ ， $\mbox{Q}(a,0,0)$ ， $\mbox{R}(0,1,0)$ ， $\mbox{S}(0,1,b)$ が半径 $1$ の同一球面上にあるとき， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ を頂点とする四面体に内接する球の半径を $r$ とすれば，次の二つの不等式が成り立つことを示せ．
$\left( \dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b} \right)^2 \geqq\dfrac{20}{3}, \quad \dfrac{1}{r} \geqq 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}+2\sqrt{\dfrac{5}{3}}$

2024.01.07記
内接球の半径と四面体の表面積の関係式を抑えておこう．

[解答]
四面体 $\mbox{PQRS}$ の体積は $\dfrac{ab}{6}$ であり，表面積は $\dfrac{1}{2}(a+b+a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{a^2+1})$ であるから，四面体の内接球の半径 $r$ は $r=\dfrac{ab}{a+b+a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{a^2+1}}$ であるから，
$\dfrac{1}{r}=\dfrac{1+\sqrt{a^2+1}}{a}+\dfrac{1+\sqrt{b^2+1}}{b}$
が成立する．

四面体 $\mbox{PQRS}$ の外接球の中心は，
$\mbox{PQ}$ の垂直2等分面は $x=\dfrac{a}{2}$ ，
$\mbox{PR}$ の垂直2等分面は $y=\dfrac{1}{2}$ ，
$\mbox{RS}$ の垂直2等分面は $z=\dfrac{b}{2}$
であるから $\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{b}{2}\right)$ となり，これと原点 $\mbox{P}$ との距離が外接円の半径1となる．よって $a^2+b^2=3$ となる．

よって示すべきことは，
$\dfrac{1}{r}=\dfrac{1+\sqrt{a^2+1}}{a}+\dfrac{1+\sqrt{b^2+1}}{b}$ ， $a^2+b^2=3$
のときに
${ \left( \dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b} \right) }^2 \geqq\dfrac{20}{3}, \quad \dfrac{1}{r} \geqq 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}+2\sqrt{\dfrac{5}{3}}$
が成り立つことである．

$\left( \dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b} \right)^2$ $=\left(\dfrac{\sqrt{a^2+1}}{a}+\dfrac{\sqrt{b^2+1}}{b}\right)^2$
$=\dfrac{a^2+1}{a^2}+\dfrac{b^2+1}{b^2}+2\dfrac{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}{ab}$
$=2+\dfrac{3}{a^2b^2}+2\dfrac{\sqrt{a^2b^2+4}}{ab}$
$=2+\dfrac{3}{a^2b^2}+2\sqrt{1+\dfrac{4}{a^2b^2}}$
であるが，AM-GM不等式より
$a^2+b^2\geqq 2ab$ （ $a,b\gt 0$ ）だから $ab$ の最大値は $\dfrac{3}{2}$ となり，
$a^2b^2$ の最大値は $\dfrac{9}{4}$ となる．

よって
$2+\dfrac{3}{a^2b^2}+2\sqrt{1+\dfrac{4}{a^2b^2}}\geqq 2+\dfrac{12}{9}+2\sqrt{1+\dfrac{16}{9}}=\dfrac{20}{3}$
が成立し，よって
$\left( \dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b} \right)^2\geqq\dfrac{20}{3}$
が成立する．

ここで $\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{\sqrt{a^2+1}}{a}+\dfrac{\sqrt{b^2+1}}{b}\gt 0$ だから
$\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b} \geqq 2\sqrt{\dfrac{5}{3}}$
が成立するので，
$\dfrac{1}{r} \geqq 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}+2\sqrt{\dfrac{5}{3}}$
を示すには
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \geqq 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
を示せば良い．

ここで AM-GM 不等式および $ab$ の最大値は $\dfrac{3}{2}$ から
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \geqq 2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\geqq 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
が成立するので，
$\dfrac{1}{r} \geqq 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}+2\sqrt{\dfrac{5}{3}}$
が示された．

$a=\sqrt{3}\cos\theta$ ， $b=\sqrt{3}\sin\theta$ （ $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ ）
とおくと
$\left( \dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b} \right)^2$ $=2+\dfrac{4}{3\sin^22\theta}+2\sqrt{1+\dfrac{16}{9\sin^22\theta}}$
となり，その最小値は $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のときとなる．