1985年(昭和60年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.26記

[1] $a\geqq1$ とする． $xy$ 平面において，不等式　 $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ ， $1\leqq y\leqq a\sin x$ 　によって定められる領域の面積を $S_1$ ，不等式 $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ ， $0\leqq y\leqq a\sin x$ ， $0\leqq y\leqq 1$ によって定められる領域の面積を $S_2$ とする． $S_2-S_1$ を最大にするような $a$ の値と， $S_2-S_1$ の最大値を求めよ．

[2] $xy$ 平面において， $\mbox{O}$ を原点， $\mbox{A}$ を定点 $(1,0)$ とする．また， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ は円周 $x^2+y^2=1$ の上を動く $2$ 点であって，線分 $\mbox{OA}$ から正の向きにまわって線分 $\mbox{OP}$ にいたる角と，線分 $\mbox{OP}$ から正の向きにまわって線分 $\mbox{OQ}$ にいたる角が等しいという関係が成り立っているものとする．

点 $\mbox{P}$ を通り $x$ 軸に垂直な直線と $x$ 軸との交点を $\mbox{R}$ ，点 $\mbox{Q}$ を通り $x$ 軸に垂直な直線と $x$ 軸との交点を $\mbox{S}$ とする．実数 $l\geqq 0$ を与えたとき，線分 $\mbox{RS}$ の長さが $l$ と等しくなるような点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ の位置は何通りあるか．

[3] $t$ を正の数とする． $xyz$ 空間において，点 $(t,t,0)$ を $\mbox{P}$ とし， $x$ 軸を含み点 $(t,t,1)$ を通る平面に関して $\mbox{P}$ と対称な点を $\mbox{Q}$ ， $y$ 軸を含み点 $(t,t,1)$ を通る平面に関して $\mbox{P}$ と対称な点を $\mbox{R}$ とする．また，原点を $\mbox{O}$ とする．4点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ を頂点とする $4$ 面体の体積を求めよ．

[4] $a$ ， $b$ を実数とし， $A=\begin{pmatrix} a & 0 \\ a-b & b \end{pmatrix}$ とおく．

(1) 行列 $A^n$ （ $n=1$ ， $2$ ，……）の表す一次変換による点 $\mbox{P}\left(\dfrac{1}{2},0\right)$ ，
$\mbox{Q}\left(\dfrac{1}{2},1\right)$ ， $\mbox{R}(1,1)$ の像をそれぞれ $\mbox{P}_n$ ， $\mbox{Q}_n$ ， $\mbox{R}_n$ とし， $f_n=3\overline{\mbox{P}_n\mbox{Q}_n}^2$ $+2\overline{\mbox{Q}_n\mbox{R}_n}^2$ $+2\overline{\mbox{R}_n\mbox{P}_n}^2$ とおく．（ここで， $\overline{\mbox{CD}}$ は線分 $\mbox{CD}$ の長さを表す．） $f_n$ を $a$ ， $b$ を用いて表せ．

(2) $a=1.1$ ， $b=\dfrac{1}{1.1}$ であるとして， $f_n$ の値を最小にするような自然数 $n$ を求めよ．

[5] $0$ または正の整数の値をとる変数 $X$ ， $Y$ がある． $X$ が整数 $n$ （ $n\geqq 0$ ）の値をとる確率と， $Y$ が整数 $n$ （ $n\geqq 0$ ）の値をとる確率は，ともに $p_n$ であるとする．ここで， $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} p_n=1$ である．）

いま，任意の整数 $m$ ， $n$ （ $m\geqq0$ ， $n\geqq0$ ）に対して， $X=m$ なる事象と $Y=n$ なる事象は独立であり，また， $X+Y=n$ となる確率は $(n+1)p_{n+1}$ に等しいという．このとき， $p_n$ （ $n=0$ ， $1$ ， $2$ ，……）と $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} np_n$ の値を求めよ．

[6] $xyz$ 空間において，点 $(0,0,0)$ を $\mbox{A}$ ，点 $(8,0,0)$ を $\mbox{B}$ ，点 $(6,2\sqrt{3},0)$ を $\mbox{C}$ とする．点 $\mbox{P}$ が $\triangle{\mbox{ABC}}$ の辺上を一周するとき， $\mbox{P}$ を中心とし半径 $1$ の球が通過する点全体のつくる立体を $K$ とする．