[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2010年(平成22年)東京大学前期-数学(理科)[6]

2021.02.09記
等面四面体だがその性質は特に使わない．

2022.03.15記
(1) で 平面 L に垂線を下すこと，(2) で平面 L に垂直で \rm AB に平行な平面を考えることから，平面 L が xy 平面となり， \rm AB が x 軸に平行となるように座標を設定する．

[解答]

{\rm O}(0,0,0)，{\rm A}(p,q,0)，{\rm B}(p-2,q,0)（q\gt 0） とおくと
{\rm OA}^2=p^2+q^2=9，{\rm OA}^2=(p-2)^2+q^2=7
であるから，p^2-(p-2)^2=4p-4=2 より p=\dfrac{3}{2}，q=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} となる．

また，点{\rm C}(x,y,z)（z\gt 0） とおくと
\rm OC=2，\rm AC=\sqrt{7}，\rm BC=3
により，
x^2+y^2+z^2=4，
(x-p)^2+(y-q)^2+z^2=7，
(x-p+2)^2+(y-q)^2+z^2=9
であるから，3番目から2番目を引いて x=\dfrac{2p-1}{2}=1であり，これから
y^2+z^2=3，
(y-q)^2+z^2=\dfrac{27}{4}，
となるのでy=\dfrac{\sqrt{3}}{3}，z=\dfrac{2\sqrt{6}}{3} となる．

つまり，{\rm A}\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3\sqrt{3}}{2},0\right)，{\rm B}\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{3\sqrt{3}}{2},0\right)，{\rm C}\left(1,\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\right) となる.

(1) {\rm C} から xy 平面である L に下した垂線の足 \rm H の座標は {\rm H}\left(1,\dfrac{\sqrt{3}}{3},0\right) となるので，\vec{\rm OH}=\alpha\vec{\rm OA}+\beta\vec{\rm OB} とすると
3\alpha-\beta=2，\alpha+\beta=\dfrac{2}{9}
となるので，\alpha=\dfrac{5}{9}，\beta=-\dfrac{1}{3} となり，
\vec{\rm OH}=\dfrac{5}{9}\vec{\rm OA}-\dfrac{1}{3}\vec{\rm OB}
となる．

(2) 平面 M が \rm C を通るのは t=\dfrac{2}{9} である．よって，

(i) 0\lt t\leqq\dfrac{2}{9} のとき，S(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \left({\rm AB}\cdot t\right)\cdot\left(\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\cdot\dfrac{9t}{2}\right)= 3\sqrt{6}t^2

(ii) \leqq\dfrac{2}{9}\lt t\lt 1 のとき，平面 M により \rm AC は s=\dfrac{9(1-t)}{7} を用いて s:1-s に内分されるので，
S(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \left\{{\rm AB}\cdot (1-s)+{\rm AB}\cdot t\right\}\cdot\left(\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\cdot s\right)=-\dfrac{96\sqrt{6}}{49}\left(t-\dfrac{1}{8}\right)(t-1)

となる．

(3) (i) の範囲で単調増加であり，(ii) の範囲で上に凸な放物線であり，頂点はt切片の中点 t=\dfrac{9}{16} のときで (ii) の範囲に含まれることから，S(t) は t=\dfrac{9}{16} のときに最大値 \dfrac{96\sqrt{6}}{49}\left(\dfrac{7}{16}\right)^2=\dfrac{3\sqrt{6}}{8} をとる．