2020.10.17記
[解答]
(1)
軸の場所で4通りに場合分け。最大値 と最小値 の差を とおくと、
(i) のとき,
(ii) のとき,
(iii) のとき,
(vi) のとき,
(2) あれば が存在するので,
(i) のとき,.
(ii) のとき,,つまり から
.両辺正だから .
(iii) のとき,,つまり から
となり .
(vi) のとき,,つまり
を図示すれば良い.
(3) カバリエリの原理から を積分すれば良い.
とすると,空間における立体の における断面は (1) から
(i) のとき,
(ii) のとき,
(iii) のとき,
(vi) のとき,
及び で囲まれた部分となる(次図).
この断面が, について対称であることに注意すると,
断面積は
となる.よって求める体積は
(3) は次のように重積分で処理してみた.
[大人の解答]
(3) とおくと,カバリエリの原理により,で体積を考えても同じになる.
このとき,
(i) のとき,
(ii) のとき,
(iii) のとき,
(vi) のとき,
であるから, を固定したとき, は偶関数となる.よって, の部分の体積を2倍すれば良い.
よって,求める体積 は
ここで,
は ,,, を頂点とする四面体の体積で であり,
であるから,
となる.