1996年(平成8年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.14記

[6] $\alpha$ ， $\beta$ を正の数とし， $xy$ 平面において，だ円 $C:\dfrac{x^2}{\alpha}+\dfrac{{(y-\sqrt\beta)}^2}{\beta}=1$ と領域 $D=\{(x,y)\,|\,x^2+y^2\leqq1\}$ を考える．

(1) $C$ が $D$ に含まれるような点 $(\alpha,\beta)$ の範囲を求め， $\alpha\beta$ 平面上に図示せよ．

(2) 点 $(\alpha.\beta)$ が(1)で求めた範囲を動くとき，だ円 $C$ の面積の最大値を求めよ．

2021.01.20記

[解答]
(1) 楕円上の点 $(\sqrt{\alpha}\cos\theta,\sqrt{\beta}(1+\sin\theta))$ が任意の $\theta$ に対して
$\alpha\cos^2\theta+\beta(1+\sin\theta)^2$ $=(\beta-\alpha)t^2+2\beta t +\alpha +\beta:=f(t)\leqq 0$
（ $t=\sin\theta\in [-1,1]$ ）
をみたす条件を求めれば良い．

その条件は， $f(-1)\leqq 0$ かつ $f(1)\leqq 0$ かつ
「 $\alpha-\beta\gt 0$ かつ $0\leqq\dfrac{\beta}{\alpha-\beta}\leqq 1$ ならば
$f\Bigl(\dfrac{\beta}{\alpha-\beta}\Bigr)\leqq 0$ 」

$\alpha\gt0，\beta\gt0$ に注意して整理すると
$\alpha+\beta\leqq 1$ かつ $0\lt\beta\leqq\dfrac{1}{4}$ かつ
「 $0\lt \beta\leqq\dfrac{\alpha}{2}$ ならば $\beta\leqq -\alpha^2+\alpha$ 」
となる．これを図示すると
$0\lt\alpha\leqq\dfrac{1}{2}$ のとき $0\lt\beta\leqq\dfrac{1}{4}$ ，
$\dfrac{1}{2}\leqq\alpha\lt1$ のとき $0\lt\beta\leqq-\alpha^2+\alpha$
となる（ $\alpha=1$ のとき $0\lt\beta\leqq0$ なる $\beta$ は存在しない）．

(2) (1) の範囲は凸であり，これが $\alpha\beta=(一定)$ と接するときは， $\alpha\beta=(一定)$ の接線が $x$ 軸とは平行にならないことから， $\beta=-\alpha^2+\alpha$ と接することに注意して接点を求めると $\Bigl(\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{9}\Bigr)$ となる．
よって， $\pi\sqrt{\alpha\beta}$ の最大値は $\dfrac{2\sqrt{3}\pi}{9}$

もちろん，接する場合について，
$\alpha\beta=-\alpha^3+\alpha^2=\alpha^2(1-\alpha)$
であり，AM-GM 不等式から
$1=\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\alpha}{2}+(1-\alpha)\geqq 3\sqrt[3]{\dfrac{\alpha^2(1-\alpha)}{4}}$
となることを利用して
$\alpha^2(1-\alpha)\leqq \dfrac{4}{27}$
を導いても良い．