1975年(昭和50年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.11記

[1] 三角形 $\mbox{ABC}$ において， $\mbox{BC}=32$ ， $\mbox{CA}=36$ ， $\mbox{AB}=25$ とする．この三角形の二辺の上に両端をもつ線分 $\mbox{PQ}$ によって，この三角形の面積を二等分する．そのような $\mbox{PQ}$ の長さが最短になる場合の， $\mbox{P}$ と $\mbox{Q}$ の位置を求めよ．

[2] $k$ ， $l$ ， $m$ ， $n$ は負でない整数とする． $0$ でないすべての $x$ に対して等式 $\dfrac{(x+1)^k}{x^l}-1=\dfrac{(x+1)^m}{x^n}$ を成り立たせるような $k$ ， $l$ ， $m$ ， $n$ の組を求めよ．

[3] 直線 $x+y=4$ に第一象限において接する放物線 $y=-ax^2+bx$ がある．この放物線と $x$ 軸の正の部分とで囲まれる図形の面積が最大となるときの $a$ ， $b$ の値とその場合の面積を求めよ．

[4] 数列 $\{a_n\}$ の項が $a_1=\sqrt{2}$ ， $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ （ $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，…）によって与えられているものとする．このとき $a_n=2\sin{\theta}_n$ ， $0\lt {\theta}_n \lt \dfrac{\pi}{2}$ を満たす ${\theta}_n$ を見いだせ．また $\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\theta}_n$ を求めよ．

[5] 図のように球 $\mbox{S}$ に内接する球の列 $\mbox{S}_n$ ， $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，…… がある． $\mbox{S}$ の中心 $\mbox{O}$ と $\mbox{S}_n$ の中心 $\mbox{O}_n$ はすべて同一平面上にあり， $\mbox{O}_{n+1}$ は $\mbox{S}_n$ の表面上にあって，この平面上において $\mbox{O}_{n+2}$ と $\mbox{O}_n$ は直線 $\mbox{OO}_{n+1}$ に関して互いに反対側にある．また $\mbox{S}$ の半径は $a$ ， $\mbox{S}_n$ の半径は $\dfrac{a}{2^n}$ である．このとき，

(i) $\mbox{S}_n$ と $\mbox{S}_{n+1}$ の共通部分の体積 $v_n$ を求めよ．

(ii) $m=1$ ， $2$ ， $3$ ，…に対して， $\displaystyle V_m=\sum_{n=1}^{m} v_n$ とおくとき， $V=\displaystyle\lim_{m\to\infty}V_m$ を求めよ．

[6] 赤球が一個と白球が三個入った容器 $\mbox{A}$ と，ほかに赤球と白球の入った容器 $\mbox{B}$ と $\mbox{C}$ がある．いま， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ から無作為に一個ずつ合計三個の球を取り出し，これらからやはり無作為に一個をとって $\mbox{A}$ にかえすという操作をくり返す．ただし容器 $\mbox{B}$ から赤球が取り出される確率と白球が取り出される確率とは共に $\dfrac{1}{2}$ に保たれており，容器 $\mbox{C}$ からはつねに赤球が取り出されるものとする．

(i) 上記の操作を $n$ 回くり返したとき，容器 $\mbox{A}$ に $x$ 個の赤球が入っている確率を $P_n(x)$ ，
$n=1$ ， $2$ ， $3$ ，…で表せば，関係式
$P_{n+1}(x)$ $=\dfrac{1}{12}(6+x)P_n(x)$ $+\dfrac{1}{24}(1+x)P_n(x+1)$ $+\dfrac{1}{8}(5-x)P_n(x-1)$
が成り立つことを証明せよ．ただし $x\leqq -1$ または $x\geqq 5$ のときは $P_n(x)=0$ と定める．