1986年(昭和61年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[1] $xy$ 平面において，座標 $(x,y)$ が不等式 $x\geqq 0$ ， $y\geqq 0$ ， $xy\leqq 1$ をみたすような点 $\mbox{P}(x,y)$ の作る集合を $\textsf{D}$ とする．三点 $\mbox{A}(a,0)$ ， $\mbox{B}(0,b)$ ， $\mbox{C}\left(c,\dfrac{1}{c}\right)$ を頂点とし， $\textsf{D}$ に含まれる三角形 $\mbox{ABC}$ はどのような場合に面積が最大となるか．また面積の最大値を求めよ．ただし $a\geqq 0$ ， $b\geqq 0$ ， $c\gt 0$ とする．

本問のテーマ

$xy=1$ を自分自身に移す1次変換

1980年(昭和55年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
も参照のこと

2020.04.12記

[解答]
図形を $x$ 軸方向に $\dfrac{1}{c}$ 倍拡大し、 $y$ 軸方向に $c$ 倍拡大するとき、D は D に移り、
$\rm A$ は $\rm A'$ $(p,\, 0)$ ， $\rm B$ は $\rm B'$ $(0,\, q)$ ， $\rm C$ は $\rm C'$ $(1,\, 1)$ に移る。ここで $p=\dfrac{a}{c},\,q=bc$ （ $p,q\geqq 0$ ）である。

このとき、 $\rm \triangle A'B'C'=\triangle ABC$ である。

$xy=1$ の $\rm C'$ における接線は $x+y=2$ であるから、 $\triangle \rm A'B'C'$ が D に含まれる必要十分条件は $0\leqq p,q \leqq 2$ である。

このとき、 $\triangle \rm A'B'C'$ $=\dfrac{1}{2}|(p-1)(q-1)-1|$ の最大値を求めれば良い。

(i) $p\geqq 1$ のとき、 $q-1$ が負で絶対値が最小となるとき、つまり $q=0$ のときに最大値 $\dfrac{1}{2}|p|$ をとり、この最大値は $p=2$ のときの $\triangle \rm A'B'C'$ $=1$ である。

(ii) $p\leqq 1$ のとき、 $q-1$ が正で絶対値が最小となるとき、つまり $q=2$ のときに最大値 $\dfrac{1}{2}|p-2|$ をとり、この最大値は $p=0$ のときの $\triangle \rm A'B'C'$ $=1$ である。

よって、 $\rm A$ $(2c,\, 0)$ ， $\rm B$ $(0,\,0)$ ， $\rm C$ $(c,\, 1/c)$ または $\rm A$ $(0,\, 0)$ ， $\rm B$ $(0,\,2/c)$ ， $\rm C$ $(c,\, 1/c)$ のときに最大値 1 をとる
（ $c$ は任意）