[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1984年(昭和59年)東京大学-数学(文科)[2]

2023.08.25記

[2] $xy$ 平面上に，海を隔てて2国 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ がある． $\mbox{A}$ の領土は不等式 $x^2+{(y-7)}^2\leqq 4$ で表される領域であり， $\mbox{B}$ の領土は不等式 $y\leqq 0$ で表される領域であるという．

いま $\mbox{A}$ の領海を次の3条件(1)，(2)，(3)を満たす点 $\mbox{P}$ 全体の集合と定める：

(1) $\mbox{P}$ は $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ いずれの領土にも含まれない．

(2) $\mbox{P}$ と $\mbox{A}$ の領土との間の最短距離は $4$ より小さい．

(3) $\mbox{P}$ と $\mbox{A}$ の領土との間の最短距離は， $\mbox{P}$ と $\mbox{B}$ の領土との間の最短距離より小さい．

$\mbox{A}$ の領海の面積を求めよ．

2020.11.30記

[解答]
条件(1) より $4\lt x^2+(y-7)^2$ かつ $y\gt 0$

条件(2) より $x^2+(y-7)^2\lt (2+4)^2=6^2$

条件(3) の境界上の点は，定点 $(7,0)$ との距離と定直線 $y=-2$ への距離が等しい点の軌跡であり，それは、定点 $(7,0)$ を焦点，定直線 $y=-2$ を準線とする放物線 $y=\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{5}{2}$ であるから，条件 (3) より $y\gt \dfrac{x^2}{18}+\dfrac{5}{2}$

よって，条件を図示すると
$4\lt x^2+(y-7)^2\lt 6^2$ かつ $y\gt \dfrac{x^2}{18}+\dfrac{5}{2}$
が求める領海となるので，その面積は
$\dfrac{2\pi}{3}\cdot 6^2+\dfrac{1}{2}\cdot 6^2\sin\dfrac{2\pi}{3}-\pi\cdot 2^2$ $-\dfrac{1}{6\times 18}(6\sqrt{3})^3$ $=20\pi+15\sqrt{3}$

定積分が閉区間で定義されるように，高校で面積を考えるときは厳密には境界を含むべきではあろうが，それほど気にしていないようだ．