1988年(昭和63年)東京大学-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[3] $xyz$ 空間において次の $6$ 個の不等式で表される立体の体積を求めよ．

$x\geqq0$ ， $y\geqq0$ ， $z\geqq0$ ， $x+y+z\leqq3$ ， $x+2z\leqq4$ ， $y-z\leqq1$

2021.01.22記

[解答]
$(0,0,0)，(3,0,0)，(0,3,0)，(0,0,3)$ を頂点とする四面体から， $(0,0,3)，(0,0,2)，(2,0,1)，(0,1,2)$ を頂点とする四面体と $(0,3,0)，(0,1,0)，(2,1,0)，(0,2,1)$ を頂点とする四面体を除けば良いので，
$\dfrac{1}{6}\cdot 3^3 \Bigl( 1- \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\Bigr)$ $=\dfrac{1}{6}\cdot 3^3 \cdot\dfrac{21}{27}=\dfrac{7}{2}$

2023.08.31記

[解答]
立体の $z=t$ （ $t\geqq0$ ）における切り口は
$0\leqq x\leqq 4-2t$ ， $0\leqq y\leqq 1+t$ ， $x+y\leqq3-t$
をみたし，これが空集合でない条件は $0\leqq t\leqq 2$ である．

(i) $0\leqq t\leqq 1$ のとき
切り口は $(x,y)$ が $(0,0)$ ， $(3-t,0)$ ， $(2-2t,1+t)$ ， $(0,1+t)$ の4点からなる台形でその面積は
$S(t)=\dfrac{(5-3t)(1+t)}{2}=\dfrac{5+2t-3t^2}{2}$