1985年(昭和60年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.26記

[1] $a\geqq1$ とする． $xy$ 平面において，不等式　 $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ ， $1\leqq y\leqq a\sin x$ 　によって定められる領域の面積を $S_1$ ，不等式 $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ ， $0\leqq y\leqq a\sin x$ ， $0\leqq y\leqq 1$ によって定められる領域の面積を $S_2$ とする． $S_2-S_1$ を最大にするような $a$ の値と， $S_2-S_1$ の最大値を求めよ．

2020.12.01記

[解答]
$\sin\alpha=\dfrac{1}{a}$ をみたす $\alpha$ （ $0\lt\alpha\lt \dfrac{\pi}{2}$ ）を用いて
$S_2-S_1=(S_1+S_2)-2S_1$ $=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} a\sin x dx -2\int_{\alpha}^{\pi/2} (a\sin x -1) dx$ $=a-2a\cos\alpha-2\alpha+\pi=:S$
となる．

よって，
$\dfrac{dS}{d\alpha}=\dfrac{da}{d\alpha}-2\cos\alpha\dfrac{da}{d\alpha}+2a\sin\alpha-2$
$=\dfrac{da}{d\alpha}-2\cos\alpha\dfrac{da}{d\alpha}$ （∵ $\sin\alpha=\dfrac{1}{a}$ ）
が成立する．

ここで $\sin\alpha=\dfrac{1}{a}$ であるから， $\alpha$ が増加すると $a$ は減少するので $\dfrac{da}{d\alpha}\lt 0$ となるので $\dfrac{dS}{d\alpha}$ は $\cos\alpha=\dfrac{1}{2}$ の前後で符号を正から負に変える．

よって $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ で極大かつ最大となり最大値 $\dfrac{\pi}{3}$ をとる．
このとき $a=\dfrac{1}{\sin(\pi/3)}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ である．