1980年(昭和55年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.22記

[1] 図のように，半径 $a$ の円 $\mbox{O}$ の周を $8$ 等分する点を順に $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ，…， $\mbox{A}_8$ とし，弦 $\mbox{A}_1\mbox{A}_4$ と弦 $\mbox{A}_2\mbox{A}_7$ ， $\mbox{A}_3\mbox{A}_6$ との交点をそれぞれ $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ とし，弦 $\mbox{A}_5\mbox{A}_8$ と弦 $\mbox{A}_3\mbox{A}_6$ ， $\mbox{A}_2\mbox{A}_7$ との交点をそれぞれ $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ とする．

このとき，正方形 $\mbox{P}\mbox{Q}\mbox{R}\mbox{S}$ の面積を求めよ．また，線分 $\mbox{A}_1\mbox{P}$ ， $\mbox{A}_2\mbox{P}$ と弧 $\mbox{A}_1\mbox{A}_2$ とで囲まれる図形の面積を求めよ．

[2] 図のような立体 $\mbox{ABCD}$ - $\mbox{EFGH}$ がある．上底面 $\mbox{ABCD}$ ，下底面 $\mbox{EFGH}$ はともに正方形であって，両底面はたがいに平行であり， $4$ つの側面 $\mbox{ABFE}$ ， $\mbox{BCGF}$ ， $\mbox{CDHG}$ ， $\mbox{DAEH}$ は台形であって， $\mbox{AE}=\mbox{BF}=\mbox{CG}=\mbox{DH}$ である．また下底面の $1$ 辺の長さは $12$ ，両底面の間の距離は $4$ である．

上底面の $1$ 辺の長さが $x$ のとき，側面 $\mbox{ABFE}$ の面積を $S(x)$ とする． $x$ が $2\leqq x\leqq 10$ の範囲を動くときの $S(x)$ の最大値と最小値を求めよ．

[3] $n$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ は $0$ または正の整数であって，
$\left\{\begin{array}{l} a^2+b^2+c^2+d^2=n^2-6 \\ a+b+c+d \leqq n \\ a \geqq b \geqq c \geqq d \end{array}\right.$
をみたすものとする．このような数の組 $(n,\,a,\,b,\,c,\,d)$ をすべて求めよ．

[4] $a$ ， $b$ は $a^2-b^2=-1$ をみたす定まった実数とし， $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ， $A=\begin{pmatrix} a & -b \\ -b & -a \end{pmatrix}$ とおく．実数の組 $(x,y)$ について $Z=xI+yA$ とおき，この $Z$ に対して $Z'=xI-yA$ とおく．また零行列を $O$ で表す．