1977年(昭和52年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.16記

[1] $k$ を実数の定数とするとき， $x$ の関数 $f(x)=|x^3-3kx|$ が $-1\leqq x\leqq 1$ の範囲でとる最大値を $M(k)$ で表す． $k$ が実数全体を動くとき， $M(k)$ が最小となる $k$ の値および $M(k)$ の最小値を求めよ．

[2] $xy$ 平面上の，原点 $\mbox{O}$ とは異なる2点 $\mbox{A}(a_1,a_2)$ ， $\mbox{B}(b_1,b_2)$ に対し， $\mbox{OA}=a$ ， $\mbox{OB}=b$ ， $\angle\mbox{AOB}=\theta$ とおく．2点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の座標 $a_1$ ， $a_2$ ， $b_1$ ， $b_2$ が有理数であるとき次の $3$ 条件はたがいに同値であることを証明せよ．

(i) $ab$ は有理数である．

(ii) $\cos\theta$ は有理数である．

(iii) $\sin\theta$ は有理数である．

[3] $xy$ 平面上に，不等式で表される $3$ つの領域
$A:x\geqq0$ ， $B:y\geqq0$ ， $C:\sqrt{3}x+y\leqq\sqrt{3}$
をとる．いま任意の点 $\mbox{P}$ に対し， $\mbox{P}$ を中心として $A$ ， $B$ ， $C$ のどれか
少くとも $1$ つに含まれる円を考える．このような円の半径の最大値は点 $\mbox{P}$ によって定まるから，これを $r(\mbox{P})$ で表すことにする．

(i) 点 $\mbox{P}$ が $A \cap C$ から $(A \cap C) \cap B$ を除いた部分を動くとき， $r(\mbox{P})$ の動く範囲を求めよ．

(ii) 点 $\mbox{P}$ が平面全体を動くとき， $r(\mbox{P})$ の動く範囲を求めよ．

[4] 正方形 $S$ の頂点 $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ， $\mbox{A}_3$ ， $\mbox{A}_4$ がそれぞれ $xy$ 平面上の点 $(0,0)$ ， $(2,0)$ ， $(2,2)$ ， $(0,2)$ の位置にあるとき，点 $(1,a)$ の位置にある正方形 $S$ 内の点を $\mbox{P}$ とする．ただし， $0\leqq a\leqq 2$ とする．

正方形 $S$ が上の位置から出発し，第一象限内において $x$ 軸上をその正の向きに滑らずにころがって行くとき，点 $\mbox{P}$ が動いてできる曲線を $C$ とする．3直線 $x=1$ ， $x=9$ ， $y=0$ と曲線 $C$ とで囲まれる図形を， $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体を考え，その体積を $V(a)$ で表す．

$V(a)$ を $a$ の式で表せ． $a$ が $0\leqq a\leqq 2$ の範囲を動くとき， $V(a)$ が最小となる $a$ の値および $V(a)$ の最小値を求めよ．

[5]（新課程） $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$ ， $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=J$ と書く．行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と実数 $t$ に対し
$A(I-tJ)=I+tJ$ という関係が成り立つとき， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を $t$ の式で表せ．

また $t$ が実数全体を動くとき，関係 $\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}$ で定まる点 $(x,y)$ が動いてできる図形を求め，これを図示せよ．

[5]（旧課程） $\theta_1$ ， $\theta_2$ ， $\theta_3$ ， $\theta_4$ ， $\theta_5$ を正の数とする．図のように円に内接する $5$ 角形 $\mbox{A}_1\mbox{A}_2\mbox{A}_3\mbox{A}_4\mbox{A}_5$ で， $1\leqq i\leqq 5$ に対し角 $\mbox{A}_i$ の大きさが $\theta_i$ となるものが存在するためには，
$\theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4+\theta_5=3\pi$ ， $\theta_1+\theta_3\gt\pi$ ， $\theta_2+\theta_4\gt\pi$ ， $\theta_3+\theta_5\gt\pi$ ， $\theta_1+\theta_4\gt\pi$ ， $\theta_2+\theta_5\gt\pi$
が同時に成り立つことが必要かつ十分であることを証明せよ．