1977年(昭和52年)東京大学-数学(理科)[6]旧課程 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[6]（旧課程） $a$ を正の定数とし， $0\leqq x\leqq 2\pi$ の範囲で関数 $f(x)=-\cos x-\dfrac{a}{4}\cos 2x$ を考える．

(i) $f(x)$ の最大値，最小値を求めよ．

(ii) $a$ の値の変化に応じて， $f(x)$ のグラフの変曲点の個数はどのように変化するか．また，この個数の変化に応じて， $f(x)$ のグラフの凹凸はどのように変化するか．

2023.08.18記

[解答]
$f'(x)=\sin x+\dfrac{a}{2}\sin 2x$ $=\sin x(1+a\cos x)$ である．

(a) $0\lt a\leqq 1$ のとき
$f(x)$ の増減表は

$x$	$0$	$\cdots$	$\pi$	$\cdots$	$2\pi$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$x$		$\nearrow$		$\searrow$

となり，最大値は $f(\pi)=1-\dfrac{a}{4}$ ，最小値は $f(0)=f(2\pi)=-1-\dfrac{a}{4}$ となる．

(b) $1\lt a$ のとき
$\cos x=-\dfrac{1}{a}$ をみたす $x$ が $\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt \pi$ ， $\pi\lt x\lt \dfrac{3\pi}{2}$ に1つずつ存在し，それらを $\alpha$ ， $\beta$ とおくと

$f(x)$ の増減表は

$x$	$0$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\pi$	$\cdots$	$\beta$	$\cdots$	$2\pi$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$x$		$\nearrow$		$\searrow$		$\nearrow$		$\searrow$

となり，最大値は $f(\alpha)=f(\beta)=\dfrac{1}{2a}+\dfrac{a}{4}$ ，最小値は $f(0)=f(2\pi)=-1-\dfrac{a}{4}$ （ $\lt f(\pi)$ ）となる．

(ii) $f''(x)=\cos x+a\cos 2x$ であるから， $a=-\dfrac{\cos x}{\cos 2x}$ のグラフを考える．
$g(x)=-\dfrac{\cos x}{\cos 2x}$ とおくと
$g'(x)=-\dfrac{-\sin x \cos 2x +2 \cos x \sin 2x}{\cos^2 2x}$
$=\dfrac{\sin x(2\cos^2 x + 1)}{\cos^2 2x}$
であるから， $g(x)$ の増減表は

$x$

$0$

$\cdots$

$\dfrac{\pi}{4}$

$\cdots$

$\dfrac{3\pi}{4}$

$\cdots$

$\pi$

$\cdots$

$\dfrac{5\pi}{4}$

$\cdots$

$\dfrac{7\pi}{4}$

$\cdots$

$2\pi$

$f'(x)$

$-$

$0$

$-$

$+$

$x$

$+\infty$

$\searrow$

${}_{-\infty} / {}_{+\infty}$

$\searrow$

${}_{-\infty} / {}_{+\infty}$

$\searrow$

$1$

$\nearrow$

${}_{+\infty} / {}_{-\infty}$

$\nearrow$

${}_{+\infty} / {}_{-\infty}$

$\nearrow$

$-1$

となり，そのグラフは次図．

$y=g(x)$ と $y=a$ の上下が入れ替わる交点の個数が変曲点の個数となり， $f''(x)=-\cos 2x(g(x)-a)$ に注意して $f''(x)$ の符号変化を見ることにより，
$0\lt a\leqq 1$ のとき変曲点は2個で ⤴ ⤵ ⤴の凹凸となり，
$1\lt a$ のとき変曲点は4個で ⤴ ⤵ ⤴ ⤵ ⤴ の凹凸となる．

[別解]
(ii) $f''(x)=\Bigl(\sin x(1+a\cos x)\Bigr)'$ $=\cos x(1+a\cos x)-a\sin^2 x$ $=2a\left(\cos^2 x+\dfrac{1}{2a}\cos x -\dfrac{1}{2}\right)$
であるから， $0\leqq x\leqq 2\pi$ における $=\cos^2 x+\dfrac{1}{2a}\cos x -\dfrac{1}{2}$ の，前後で符号変化する解の個数を考えれば良い．ここで， $\cos x=0$ となる $x$ はこの方程式の解にはならないので， $\cos x\neq 0$ として良く，このとき
$\dfrac{1}{a}=-2\cos x+\dfrac{1}{\cos x}$ の，前後で符号変化する解の個数を考えれば良く，右辺のグラフは増減表から次図
（結局は $-\dfrac{\cos 2x}{\cos x}$ となるので[解答]のグラフの逆数のグラフになる）．

このグラフと $y=\dfrac{1}{a}$ の上下が入れ替わる交点の個数が変曲点の個数となるので， $0\lt \dfrac{1}{a}\lt 1$ のとき4個， $1\leqq \dfrac{1}{a}$ のとき2個となる．

$f''(x)=a\cos x\left(-2\cos x+\dfrac{1}{\cos x}-\dfrac{1}{a} \right)$ に注意して $f''(x)$ の符号変化を見ることにより，
$0\lt a\leqq 1$ のとき変曲点は2個で ⤴ ⤵ ⤴の凹凸となり，
$1\lt a$ のとき変曲点は4個で ⤴ ⤵ ⤴ ⤵ ⤴ の凹凸となる．

$\cos x=t$ とおくとき， $t$ に対する $x$ の個数は $t=\pm 1$ のとき1個，それ以外のときは2個になるので数え間違えないように注意する．

[別解2]
(ii) $f''(x)=\Bigl(\sin x(1+a\cos x)\Bigr)'$ $=\cos x(1+a\cos x)-a\sin^2 x$ $=2a\left(\cos^2 x+\dfrac{1}{2a}\cos x -\dfrac{1}{2}\right)$
であるから， $0\leqq x\leqq 2\pi$ における $=\cos^2 x+\dfrac{1}{2a}\cos x -\dfrac{1}{2}$ の，前後で符号変化する解の個数を考えれば良い．

$\cos x=t$ とおくと $-1\leqq t\leqq 1$ における2次関数 $=g(t)=t^2 +\dfrac{1}{2a}t -\dfrac{1}{2}$ の，前後で符号変化する解の個数を考えれば良い．
$g(1)=\dfrac{a+1}{2a}\gt 0$ ， $g(0)=-\dfrac{1}{2}\lt 0$ であり， $g(-1)=\dfrac{a-1}{2a}$ であるから，

(a) $0\lt a\lt 1$ のとき $-1\leqq t\leqq 1$ で $g(x)$ は負， $0$ ，正と符号変化するので $0\leqq x\leqq 2\pi$ では（ $\cos x$ は $1$ から $-1$ に向かうことから）
正，0，負，0，正
と符号変化する．よって変曲点は2個で ⤴ ⤵ ⤴の凹凸となる．

(b) $a=1$ のとき $-1\leqq t\leqq 1$ で $g(x)$ は $0$ ，負， $0$ ，正と符号変化するので $0\leqq x\leqq 2\pi$ では
正，0，負，0，負，0，正
と符号変化する．よって変曲点は2個で ⤴ ⤵ ⤴の凹凸となる．

(c) $1\lt a$ のとき $-1\leqq t\leqq 1$ で $g(x)$ は正， $0$ ，負， $0$ ，正と符号変化するので $0\leqq x\leqq 2\pi$ では
正， $0$ ，負， $0$ ，正， $0$ ，負， $0$ ，正
と符号変化する．よって4個で ⤴ ⤵ ⤴ ⤵ ⤴ の凹凸となる．