1973年(昭和48年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.09記

[1] 平面上に1辺の長さが $1$ の正方形 $\mbox{S}$ がある．この平面上で $\mbox{S}$ を平行移動して得られる正方形で，点 $\mbox{P}$ を中心にもつものを $\mbox{T}(\mbox{P})$ とする．このとき，共通部分 $\mbox{S}\cap\mbox{T}(\mbox{P})$ の面積が
$\dfrac{1}{2}$ 以上となるような点 $\mbox{P}$ の存在範囲を図示せよ．

[2] 図において $\mbox{AB}=2a$ とする． $\mbox{AB}$ を直径とする半円周上に $\mbox{P}$ があるとする． $\mbox{P}$ から $\mbox{AB}$ に下した垂線の足を $\mbox{Q}$ とする． $\triangle\mbox{APQ}$ を $\mbox{AB}$ のまわりに回転してできる立体の体積の最大値を求めよ．

[3] $4$ 角錐 $\mbox{V}$ - $\mbox{ABCD}$ があって，その底面 $\mbox{ABCD}$ は正方形であり，また $4$ 辺 $\mbox{VA}$ ， $\mbox{VB}$ ， $\mbox{VC}$ ， $\mbox{VD}$ の長さはすべて相等しい．この $4$ 角錐の頂点 $\mbox{V}$ から底面に下した垂線 $\mbox{VH}$ の長さは $6$ であり，底面の $1$ 辺の長さは $4\sqrt{3}$ である． $\mbox{VH}$ 上に $\mbox{VK}=4$ なる点 $\mbox{K}$ をとり，点 $\mbox{K}$ と底面の $1$ 辺 $\mbox{AB}$ とを含む平面で，この $4$ 角錐を $2$ つの部分に分けるとき，頂点 $\mbox{V}$ を含む部分の体積を求めよ．

[4] 区間 $1\leqq x\leqq 3$ において次のように定義された関数 $f(x)$ がある．
$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & (1 \leqq x \leqq 2), \\ x-1 & (2 \leqq x \leqq 3). \end{array} \right.$
いま実数 $a$ に対して，区間 $1\leqq x\leqq 3$ における関数 $f(x)-ax$ の最大値から最小値を引いた値を $V(a)$ とおく．このとき次の問に答えよ．