1979年(昭和54年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.19記

[1] $xy$ 平面上の4点 $\mbox{A}(0,0)$ ， $\mbox{B}(1,0)$ ， $\mbox{C}(1,1)$ ， $\mbox{D}(0,1)$ を頂点とする正方形を $\mbox{Q}$ とする．実数 $t$ に対して一次変換
$U_t=\begin{pmatrix} 1+t & t+t^2 \\ 0 & 1+t \end{pmatrix}$ ，
$V_t=\begin{pmatrix} 1+t & 0 \\ t+t^2 & 1+t \end{pmatrix}$ ，
を考え， $\mbox{Q}$ が $U_t$ によって写された図形と， $\mbox{Q}$ が $V_t$ によって写された図形との共通部分の面積を $S(t)$ とする． $t$ が $t\geqq 0$ の範囲を動くとき， $t$ の関数 $S(t)$ のグラフの概形を描き， $S(t)$ のこの範囲での最大値を求めよ．

[2] 図のように，半径 $1$ の球が，ある円錐の内部にはめこまれる形で接しているとする．球と円錐面が接する点の全体は円をなすが，その円を含む平面を $\alpha$ とする．円錐の頂点を $\mbox{P}$ とし， $\alpha$ に関して $\mbox{P}$ と同じ側にある球の部分を $\mbox{K}$ とする．また， $\alpha$ に関して $\mbox{P}$ と同じ側にある球面の部分および円錐面の部分で囲まれる立体を $\mbox{D}$ とする．

いま， $\mbox{D}$ の体積が球の体積の半分に等しいという．そのときの $\mbox{K}$ の体積を求めよ．

[3] ある硬貨を投げるとき，表と裏がおのおの確率 $\dfrac{1}{2}$ で出るものとする．この硬貨を $8$ 回くり返して投げ， $n$ 回目に表が出れば $X_n=1$ ，裏が出れば $X_n=-1$ とし， $S_n=X_1+X_2+$ … $+X_n$ （ $1\leqq n\leqq 8$ ）とおく．このとき次の確率を求めよ．

(1) $S_2\neq0$ かつ $S_8=2$ となる確率．

(2) $S_4=0$ かつ $S_8=2$ となる確率．

[4] $a$ を正の整数とし，数列 $\{u_n\}$ を次のように定める．
$u_1=2$ ， $u_2=a^2+2$ ，
$u_n=au_{n-2}-u_{n-1}$ ， $n=3$ ， $4$ ， $5$ ，…
このとき，数列 $\{u_n\}$ の項に $4$ の倍数が現れないために， $a$ のみたすべき必要十分条件を求めよ．