[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1979年(昭和54年)東京大学-数学(文科)[3]

2023.08.19記

[3] ある硬貨を投げるとき，表と裏がおのおの確率 $\dfrac{1}{2}$ で出るものとする．この硬貨を $8$ 回くり返して投げ， $n$ 回目に表が出れば $X_n=1$ ，裏が出れば $X_n=-1$ とし， $S_n=X_1+X_2+$ … $+X_n$ （ $1\leqq n\leqq 8$ ）とおく．このとき次の確率を求めよ．

(1) $S_2\neq0$ かつ $S_8=2$ となる確率．

(2) $S_4=0$ かつ $S_8=2$ となる確率．

2023.08.20記

[解答]
(1) $X_1=X_2=1$ で残りの6個のうち3つが1，または $X_1=X_2=-1$ で残りの6個のうち1つが $-1$ となる場合だから
$\dfrac{{}_6\mbox{C}_3+{}_6\mbox{C}_1}{2^8}=\dfrac{13}{128}$

(2) $X_1\sim X_4$ のうち2つが1で $X_5\sim X_8$ のうち1つが $-1$ となる場合だから
$\dfrac{{}_4\mbox{C}_2\times {}_4\mbox{C}_1}{2^8}=\dfrac{3}{32}$