1980年(昭和55年)東京大学-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.22記

[1] 図のように，半径 $a$ の円 $\mbox{O}$ の周を $8$ 等分する点を順に $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ，…， $\mbox{A}_8$ とし，弦 $\mbox{A}_1\mbox{A}_4$ と弦 $\mbox{A}_2\mbox{A}_7$ ， $\mbox{A}_3\mbox{A}_6$ との交点をそれぞれ $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ とし，弦 $\mbox{A}_5\mbox{A}_8$ と弦 $\mbox{A}_3\mbox{A}_6$ ， $\mbox{A}_2\mbox{A}_7$ との交点をそれぞれ $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ とする．

このとき，正方形 $\mbox{P}\mbox{Q}\mbox{R}\mbox{S}$ の面積を求めよ．また，線分 $\mbox{A}_1\mbox{P}$ ， $\mbox{A}_2\mbox{P}$ と弧 $\mbox{A}_1\mbox{A}_2$ とで囲まれる図形の面積を求めよ．

2020.11.26記

[解答]
一辺の長さが $2x$ の正8角形と重ねると， $a^2=\{1^2+(1+\sqrt{2})^2\}x^2=2(2+\sqrt{2})x^2$ であるから， $x^2=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}a^2$

よって正方形の面積は $4x^2=(2-\sqrt{2})a^2$

もう一つの面積は弧の中心角が $\dfrac{\pi}{4}$ だから
$\dfrac{\pi a^2}{8}-2\times \dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2}x\cdot x$ $=\dfrac{\pi a^2}{8}-\sqrt{2}x^2$ $=\dfrac{\pi+4-4\sqrt{2}}{8}a^2$