1980年(昭和55年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.22記

[6] $xy$ 平面の第1象限にある点 $\mbox{A}$ を頂点とし，原点 $\mbox{O}$ と $x$ 軸上の点 $\mbox{B}$ を結ぶ線分 $\mbox{OB}$ を底辺とする二等辺三角形（ $\mbox{A}\mbox{O}=\mbox{AB}$ ）の面積を $s$ とする．この三角形と不等式 $xy\leqq1$ で表される領域との共通部分の面積を求め，これを $s$ の関数として表せ．

本問のテーマ

$xy=1$ を自分自身にうつす一次変換　

2020.11.25記

$xy=1$ を自分自身にうつす一次変換

$xy=1$ を自分自身にうつす一次変換は $X=kx$ ， $Y=\dfrac{1}{k}y$ または $X=ky$ ， $Y=\dfrac{1}{k}x$ のいずれかに限られるが，ここでは前者に着目する．

また，原点と $xy=1$ の $x=\alpha$ から $\beta$ までの弧（ $0\lt \alpha\lt \beta$ ）で作られる部分の面積が、 $\log\dfrac{\beta}{\alpha}$ となることは有名で，これが $\mbox{O}(0,0)$ ， $\mbox{A}(\alpha,1/\alpha)$ ， $\mbox{B}(\beta,1/\beta)$ としたときの
線分 $\mbox{OA}$ ，線分 $\mbox{OB}$ ， $xy=1$ の弧 $\mbox{AB}$ で囲まれる部分の面積に等しいことも有名．

[解答]
${\rm B}(b,0)$ とする．
1次変換 $\begin{pmatrix} 2/b & 0 \\ 0 & b/2 \end{pmatrix}$ で全体をうつしても面積は変わらないので， ${\rm O}(0,0)，{\rm B}'(2,0)，{\rm A}'(1,s)$ で囲まれる三角形と $xy\leqq 1$ の共通部分の面積を求めれば良い．

(i) $s\leqq 1$ のとき
$s=1$ のときの $xy=1$ の $x=1$ における接線が $\rm A'B'$ となることに注意すると，
$\triangle\rm OA'B'$ は $xy\leqq 1$ の領域にあるので
$S=s$

(ii) $s\geqq 1$ のとき ${\rm OA}'$ と $xy=1$ の交点の $x$ 座標を $\alpha$ ， $\rm A'B'$ と $xy=1$ の交点の $x$ 座標を $\beta$ とすると，共通部分は

$(0,0)$ と $(\alpha,1/\alpha)$ を結ぶ線分， $(0,0)$ と $(\beta,1/\beta)$ を結ぶ線分， $(\alpha,1/\alpha)$ と $(\beta,1/\beta)$ を結ぶ $xy=1$ の弧で囲まれる部分の面積 $\log\dfrac{\beta}{\alpha}$

と

$(0,0)$ と $(2,0)$ と $(\beta,1/\beta)$ を3頂点とする三角形の面積 $\dfrac{1}{\beta}$

の和であるから，
$S=\log\dfrac{\beta}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}$
となる． $y=sx，y=-s(x-2)$ と $xy=1$ の交点を求めると $\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{s}}$ ， $\beta=\dfrac{s+\sqrt{s^2-s}}{s}$ であるから，
$S=\log(\sqrt{s}-\sqrt{s-1})+s-\sqrt{s^2-s}$