1978年(昭和53年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.18記

[1] 半径 $1$ の円 $\mbox{O}$ の周を $6$ 等分する点を図のように順次 $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ，……， $\mbox{A}_6$ とする．弧 $\mbox{A}_2\mbox{A}_1\mbox{A}_6$ および半径 $\mbox{OA}_2$ ， $\mbox{OA}_6$ に接する円の中心を $\mbox{P}$ とし，この円 $\mbox{P}$ の周と線分 $\mbox{OP}$ の交点を $\mbox{B}$ とする．線分 $\mbox{OA}_3$ 上に $\mbox{OQ}=\mbox{PA}_1$ をみたすように点 $\mbox{Q}$ を定める． $\mbox{Q}$ を中心とし $\mbox{QA}_3$ を半径とする円周と円 $\mbox{P}$ の交点のうちで，直径 $\mbox{A}_1\mbox{B}$ に関し点 $\mbox{A}_2$ と同じ側にあるものを $\mbox{C}$ とする．

このとき四辺形 $\mbox{OPCQ}$ は平行四辺形であることを証明せよ．また弧 $\mbox{A}_1\mbox{A}_2\mbox{A}_3$ ，弧 $\mbox{A}_3\mbox{C}$ ，弧 $\mbox{CBA}_1$ によって囲まれた領域（図の太線で囲まれた部分）の面積を求めよ．

2023.08.18記

[解答]
$\mbox{OQ}=\mbox{PA}_1=\mbox{PC}$ ，
$\mbox{OP}=1-\mbox{PA}_1=1-\mbox{OQ}=\mbox{QA}_3=\mbox{QC}$
であるから，四辺形 $\mbox{OPCQ}$ は平行四辺形である．

$\mbox{PA}_1=r$ とおくと， $\mbox{OP}\sin 60^{\circ}=r$ により $r=2\sqrt{3}-3$ である．

求める面積は
$(\mbox{扇型OA}_1\mbox{A}_3)$ $-(\mbox{扇型QCA}_3)$ $-(\mbox{四辺形OPCQ})$ $+(\mbox{中心角が240度の扇型PCA}_1)$
$=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi (1-r)^2}{3}-r^2+\dfrac{2\pi r^2}{3}$
$=\dfrac{\pi(r(r+2)}{3}-r^2$
$=\dfrac{\pi(15-8\sqrt{3})}{3}-21+12\sqrt{3}$