1978年(昭和53年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.18記

[1] 半径 $1$ の円 $\mbox{O}$ の周を $6$ 等分する点を図のように順次 $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ，……， $\mbox{A}_6$ とする．弧 $\mbox{A}_2\mbox{A}_1\mbox{A}_6$ および半径 $\mbox{OA}_2$ ， $\mbox{OA}_6$ に接する円の中心を $\mbox{P}$ とし，この円 $\mbox{P}$ の周と線分 $\mbox{OP}$ の交点を $\mbox{B}$ とする．線分 $\mbox{OA}_3$ 上に $\mbox{OQ}=\mbox{PA}_1$ をみたすように点 $\mbox{Q}$ を定める． $\mbox{Q}$ を中心とし $\mbox{QA}_3$ を半径とする円周と円 $\mbox{P}$ の交点のうちで，直径 $\mbox{A}_1\mbox{B}$ に関し点 $\mbox{A}_2$ と同じ側にあるものを $\mbox{C}$ とする．

このとき四辺形 $\mbox{OPCQ}$ は平行四辺形であることを証明せよ．また弧 $\mbox{A}_1\mbox{A}_2\mbox{A}_3$ ，弧 $\mbox{A}_3\mbox{C}$ ，弧 $\mbox{CBA}_1$ によって囲まれた領域（図の太線で囲まれた部分）の面積を求めよ．

[2] 二つの放物線 $y=x^2-2x+2$ ……(1)，
$y=-x^2+ax+b$ ……(2) は，
それらの交点の一つ $\mbox{P}$ で，接線が互いに直交しているものとする．このとき，放物線(2)は， $a$ ， $b$ の値に無関係な一定の点 $\mbox{Q}$ を通ることを証明し， $\mbox{Q}$ の座標を求めよ．

[3] $\mbox{C}$ を放物線 $y=\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{1}{3}$ とする． $\mbox{C}$ 上の点 $\mbox{Q}\left(t,\dfrac{3}{2}t^2-\dfrac{1}{3}\right)$ を通り， $\mbox{Q}$ における $\mbox{C}$ の接線と垂直な直線を， $\mbox{Q}$ における $\mbox{C}$ の法線という．

(1) $xy$ 平面上の点 $\mbox{P}(x,y)$ で $\mbox{P}$ を通る $\mbox{C}$ の法線が一本だけ引けるようなものの存在範囲を求め， $xy$ 平面上に図示せよ．

(2) (1)で求めた範囲と放物線の内部（不等式 $y\gt\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{1}{3}$ の定める範囲）の共通部分の面積を求めよ．

[4] 行列 $A=\begin{pmatrix} 1/3 & 5\\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ に対し，次の問に答えよ．

任意の整数 $n>0$ に対して， $A^n$ を数学的帰納法を用いて求めよ．また，与えられた $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ に対し
$A^n\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ （ $n=1$ ， $2$ ， $\cdots$ ）
とおくとき，極限
$u=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}}$ ，
$v=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}}$ を求めよ．
ただし $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ とする．

[5] 三角形 $\mbox{ABC}$ において，各辺の長さを， $\mbox{BC}=a$ ， $\mbox{CA}=b$ ， $\mbox{AB}=c$ と記す．いま辺 $\mbox{BC}$ を $n$ 等分する点を $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ ， $\cdots\cdots$ ， $\mbox{P}_{n-1}$ とし， $\mbox{P}_n=\mbox{C}$ とする．このとき極限
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n} ({\mbox{AP}_1}^2+{\mbox{AP}_2}^2+\cdots\cdots+{\mbox{AP}_n}^2)$ を求め，これを $a$ ， $b$ ， $c$ で表わせ．

[6] $xy$ 平面において放物線 $y=x^2$ の， $0\lt x\lt 1$ に対応する部分を $\mbox{L}$ とする．（すなわち $\mbox{L}= \{ (x,x^2)\,|\,0\lt x\lt 1 \}$ である．）
点 $\mbox{P}(x,x^2)$ における $\mbox{L}$ の接線が直線 $y=0$ ，直線 $x=1$ と交わる点をそれぞれ $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ とする．また座標が $(0,0)$ ， $(1,0)$ ， $(1,1)$ である三点を，それぞれ $\mbox{O}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ とする．以下つねに $0\lt x\lt 1$ という範囲で考えるものとする．

(1) $\triangle\mbox{PAC}$ ， $\triangle\mbox{PCB}$ の面積をそれぞれ $g(x)$ ， $h(x)$ とするとき， $g(x)\leqq h(x)$ となる $x$ の範囲を求めよ．

(2) 線分 $\mbox{OC}$ および線分 $\mbox{CD}$ と放物線の一部 $\mbox{L}$ で囲まれた範囲を $\mbox{M}$ とする．ただし $\mbox{M}$ はその周である線分 $\mbox{OC}$ ， $\mbox{CD}$ および $\mbox{L}$ を含むものとする．いま $\mbox{L}$ 上の点 $\mbox{P}(x,x^2)$ を頂点とし， $\mbox{M}$ に含まれるような三角形のうちで，最大の面積を持つものの面積を $f(x)$ とする．関数 $f(x)$ を求め，そのグラフを描け．また $f(x)$ の極値を求めよ．

ただし $\mbox{I}=\{ x\,|\,0\lt x\lt 1 \}$ の点 $a$ で，関数 $f$ が極小値（または極大値）をとるとは， $a$ に近い $\mbox{I}$ のすべての点 $x$ に対して $f(a)\leqq f(x)$ （または $f(a)\geqq f(x)$ ）となることをいう．極大値と極小値をあわせて極値という．

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