1987年(昭和62年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[6] 正六角形の頂点に1から6までの番号を順につける．また $n$ 個のサイコロを振り，出た目を番号とするすべての頂点にしるしをつけるものとする．このとき，しるしのついた三点を頂点とする直角三角形が存在する確率を $p_n$ とする．

(1) $p_3$ ， $p_4$ を求めよ．

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\log(1-p_n)$ を求めよ．

2021.01.20記

[解答]
余事象を考える

1点のみ印がつく確率は $\dfrac{6}{6^{n}}$

ちょうど2点のみ印がつく確率は ${}_6\mbox{C}_2\Bigl(\dfrac{1}{3^n}-\dfrac{2}{6^n}\Bigr)$

直角3角形にならない3点のみ印がつく確率は $8\Bigl\{\dfrac{1}{2^n}-3\Bigl(\dfrac{1}{3^n}-\dfrac{2}{6^n}\Bigr)-\dfrac{3}{6^n}\Bigr\}$

だから，直角3角形ができない確率は $\dfrac{8}{2^n}-\dfrac{9}{3^n}$ となり，
$p_n=1-\dfrac{8}{2^n}+\dfrac{9}{3^n}$ となる．

(1) $p_3=\dfrac{1}{3}$ ， $p_4=\dfrac{11}{18}$

(2) $1-p_n=\dfrac{8}{2^n}-\dfrac{9}{3^n}=\dfrac{1}{2^n}\Bigl(8-\dfrac{9}{1.5^n}\Bigr)$ だから，
$\dfrac{1}{n}\log (1-p_n)=-\log 2 +\dfrac{1}{n}\log\Bigl(8-\dfrac{9}{1.5^n}\Bigr)$ $\to -\log 2$
（ $n\to\infty$ ）