1991年(平成3年)東京大学後期-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.05記

[2] 平面上に3つの円 $\mbox{C}_1$ ， $\mbox{C}_2$ ， $\mbox{C}_3$ があって， $\mbox{C}_1$ と $\mbox{C}_2$ は相異なる $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ で交わり， $\mbox{C}_3$ は $\mbox{C}_1$ および $\mbox{C}_2$ と互いに直交している．ただし，2つの円が互いに直交しているとは，2つの円に共通点があって，各共通点におけるそれぞれの円に対する接線がその共通点で直交しているときをいう．

(1) 円 $\mbox{C}_3$ の中心は， $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を通る直線上にあることを示せ．

(2) $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の一方は円 $\mbox{C}_3$ の内側に，他方は円 $\mbox{C}_3$ の外側にあることを示せ．

本問のテーマ

反転
根軸

2024.04.15記

反転

[大人の解答]
円 $C_3$ の中心を $\mbox{O}_3$ とし，円 $C_3$ に関する反転を考える．

円 $C_1$ は円 $C_3$ と直交しているので， $\mbox{O}_3$ から
円 $C_1$ に引いた2接線は円 $C_3$ 上で円 $C_1$ に接する．

(i) 反転は等角写像である

(ii) 反転により交点は交点に，接点は接点に移る

(iii) 反転の中心を通る直線は自分自身に移る

(iv) 反転の中心を通らない円は反転の中心を通らない円に移る

という反転の性質から，円 $C_1$ の反転による像は円 $C_1$ 自身となる．

同様に円 $C_2$ の反転による像は円 $C_2$ 自身となる．

よって (ii) および

(v) 反転は反転円の内部と外部を入れ換える

により反転によって $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ は入れ換わることがわかり，(2)が示された．

このとき(iii) により直線 $\mbox{O}_3\mbox{A}$ は自分自身に移り，かつ $\mbox{O}_3\mbox{B}$ に移るので，
直線 $\mbox{O}_3\mbox{A}$ と $\mbox{O}_3\mbox{B}$ は一致し， $\mbox{O}_3$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ は同一直線上にあることがわかり，(1)が示された．

反転の定義と方羃の定理は密接な関係があるので，以上のことは方羃の定理を用いて示すことができる．

[うまい解答]
(1) 円 $C_3$ の中心を $\mbox{O}_3$ とし，半径を $r$ とする．

$\mbox{O}_3$ から円 $C_1$ に引いた接線の接点の1つを $\mbox{T}_1$ ，
円 $C_2$ に引いた接線の接点の1つを $\mbox{T}_2$ とすると
$\mbox{O}_3\mbox{T}_1$ $=\mbox{O}_3\mbox{T}_2$ $=r$
である．

直線 $\mbox{O}_3\mbox{A}$ と円 $C_1，C_2$ との交点をそれぞれ $\mbox{B}_1，\mbox{B}_2$ とすると方羃の定理により
$r^2=\mbox{O}_3\mbox{T}_1{}^2$ $=\mbox{O}_3\mbox{A}\cdot\mbox{O}_3\mbox{B}_1$ ，
$r^2=\mbox{O}_3\mbox{T}_2{}^2$ $=\mbox{O}_3\mbox{A}\cdot\mbox{O}_3\mbox{B}_2$
であるから，
$\mbox{O}_3\mbox{B}_1$ $=\mbox{O}_3\mbox{B}_2$
が成立し， $\mbox{B}_1$ と $\mbox{B}_2$ が一致することとなり，よってこれは $\mbox{B}$ である．

よって $\mbox{O}_3$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ は同一直線上にある．

(2) $r^2$ $=\mbox{O}_3\mbox{A}\cdot\mbox{O}_3\mbox{B}$
であるから，
$\mbox{O}_3\mbox{A}\lt r\lt\mbox{O}_3\mbox{B}$
または
$\mbox{O}_3\mbox{A}\gt r \gt\mbox{O}_3\mbox{B}$
のいずれかが成立するので， $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の一方は円 $\mbox{C}_3$ の内側に，他方は円 $\mbox{C}_3$ の外側にある．

(1)を座標でやるならこんな感じ．(2)を座標でやるのは計算が面倒なので省略

[解答]
(1) 円 $C_3$ を $x^2+y^2=r^2$ とおく．

円 $C_1$ は
$(x-r\cos\theta_1+t_1\sin\theta_1)^2+(y-r\sin\theta_1-t_1\cos\theta_1)^2=t_1^2$ ，
すなわち
$x^2+y^2$ $-2(r\cos\theta_1-t_1\sin\theta_1)x-2(r\sin\theta_1+t_1\cos\theta_1)y$ $+r^2$ $=0$
とおけ，同様に円 $C_2$ は
$x^2+y^2$ $-2(r\cos\theta_2-t_2\sin\theta_2)x-2(r\sin\theta_2+t_2\cos\theta_2)y$ $+r^2$ $=0$
とおくことができる．

よって直線 $\mbox{AB}$ の方程式は
$-2(r\cos\theta_1-t_1\sin\theta_1)x-2(r\sin\theta_1+t_1\cos\theta_1)y$ $+2(r\cos\theta_2-t_2\sin\theta_2)x+2(r\sin\theta_2+t_2\cos\theta_2)y$ $=0$
となり． $(0,0)$ を通るので題意は示された．

根軸

直線 $\mbox{AB}$ は円 $C_1，C_2$ の根軸と呼ばれ，

点 $\mbox{P}$ が円 $C_1，C_2$ の根軸上にあることと，点 $\mbox{P}$ の円 $C_1，C_2$ に関する方羃の値が等しいことは同値

であることが知られている．例えば
manabitimes.jp

を参照のこと．

本問(1)は「 $C_3$ が $C_1$ に直交すること」と「 $\mbox{O}_3$ の $C_1$ に関する方羃の値が $r^2$ に等しい」ことが同値であることを利用して， $\mbox{O}_3$ の円 $C_1，C_2$ に関する方羃の値が等しいことから， $\mbox{O}_3$ が円 $C_1，C_2$ の根軸上にあることを示すことになっている．