2022年(令和4年)東京大学-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.26記

[1] $a,b$ を実数とする。座標平面上の放物線 $y=x^2+ax+b$ を $C$ とおく。 $C$ は，原点で垂直に交わる2本の接線 $\ell_1,\ell_2$ を持つとする。ただし， $C$ と $\ell_1$ の接点 ${\rm P}_1$ の $x$ 座標は， $C$ と $\ell_2$ の接点 ${\rm P}_2$ の $x$ 座標より小さいとする。

(1) $b$ を $a$ で表せ。また $a$ の値はすべての実数をとりうることを示せ。

(2) $i=1,2$ に対し，円 $D_i$ を，放物線 $C$ の軸上に中心を持ち，点 ${\rm P}_i$ で $\ell_i$ と接するものと定める。 $D_2$ の半径が $D_1$ の半径の2倍となるとき， $a$ の値を求めよ。

2022.02.26記
放物線 $y=kx^2+\cdots$ の法線と軸の交点は， $y$ 座標が $\dfrac{1}{2k}$ だけ大きくなるという有名事実がある。

[大人の解答]

原点が $C$ の外部にあるので $b\gt 0$ である。

$C$ の $y$ 切片と原点の $y$ 座標の差は $b$ であるから，原点から放物線に引いた接線の接点の $x$ 座標は $\pm\sqrt{b}$ となるので，両接線の傾きは $\pm2\sqrt{b}+a$ である．

両接線が直交する条件は $(2\sqrt{b}+a)(-2\sqrt{b}+a)=-1$ から $b=\dfrac{a^2+1}{4}$ となる．

任意の実数 $a$ に対して， $b=\dfrac{a^2+1}{4}$ によって正の数 $b$ が定まり，放物線 $C$ と接点が実際に存在することから， $a$ はすべての実数をとりうる．

(2) 放物線の軸は $x=-\dfrac{a}{2}$ であるから，求める条件は
$\left(\dfrac{a}{2}+\sqrt{b}\right)^2+\dfrac{1}{4}=4\left\{\left(\dfrac{a}{2}-\sqrt{b}\right)^2+\dfrac{1}{4}\right\}$
が成立する．

$X=2\sqrt{b}+a$ とおくと
$(2\sqrt{b}+a)(-2\sqrt{b}+a)=-1$ ，
$2\sqrt{b}+a \gt -2\sqrt{b}+a$ （∵ $\sqrt{b}\gt 0$ ）
から $X\gt 0$ であり，
$\dfrac{X^2}{4}+\dfrac{1}{4}=4\left\{\dfrac{1}{4X^2}+\dfrac{1}{4}\right\}$
つまり
$X^2-3-\dfrac{4}{X^2}=\dfrac{(X^2-4)((X^2+1)}{X^2}=0$
となる．

よって $X=2$ であり， $2\sqrt{b}+a=2$ と $-2\sqrt{b}+a=-\dfrac{1}{2}$ から $a=\dfrac{3}{4}$ となる．

普通の人にはついていけない解答になってしまった。

ごはんも食べたし、普通の解答も書いておくか。

[解答]

(1) 原点を通る $x=\alpha$ における $C$ の接線が $y=mx$ のとき，
$x^2+ax+b-mx=(x-\alpha)^2$
と因数分解できるので，解と係数の関係から
$m=2\alpha+a$ ， $b=\alpha^2$
が成立する．よって原点を通る2つの接線の傾きは
$m=\pm2\sqrt{b}+a$ （接点の $x$ 座標は $\alpha=\pm\sqrt{b}$ ）
となり，これらが直交することから
$-1=(2\sqrt{b}+a)(-2\sqrt{b}+a)=a^2-4b$ ，
つまり $b=\dfrac{a^2+1}{4}$ が成立する．

ここで，任意の実数 $a$ に対して $b=\dfrac{a^2+1}{4}$ と定めれば， $C$ の方程式は
$y=x^2+ax+\dfrac{a^2+1}{4}$
となり， $C$ の原点を通る2本の接線 $y=(a\pm\sqrt{a^2+1})x$ は互いに直交しており題意をみたしていることから， $a$ の値はすべての実数をとりうる．

(2) $C$ 上の点 $(t,t^2+at+b)$ における法線の方程式は
$y=-\dfrac{1}{2t+a}(x-t)+t^2+at+b$
であり，これと軸 $x=-\dfrac{a}{2}$ との交点の座標は
$y=-\dfrac{1}{2t+a}\left(-\dfrac{a}{2}-t\right)+t^2+at+b$ $y=t^2+at+b+\dfrac{1}{2}$
となるので， $(t,t^2+at+b)$ で放物線に接し，中心が軸上にある円の中心は
$\left(-\dfrac{a}{2},t^2+at+b+\dfrac{1}{2}\right)$
となり，よって半径の2乗は
$\left(t+\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$
となる．

よって求める条件は， ${\rm P}_1$ ， ${\rm P}_2$ の $x$ 座標は $b=\dfrac{a^2+1}{4}$ として，それぞれ $-\sqrt{b}$ ， $\sqrt{b}$ となることから，
$\left(\sqrt{b}＋\dfrac{a}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}=4\left\{\left(-\sqrt{b}＋\dfrac{a}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\right\}$
が成立する．

よって $X=2$ であり， $2\sqrt{b}+a=2$ と $-2\sqrt{b}+a=-\dfrac{1}{2}$ から $a=\dfrac{3}{4}$ となる．