1991年(平成3年)京都大学後期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.04記

[3] 空間に原点を始点とする長さ1のベクトル $\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ がある． $\vec{a}，\vec{b}$ のなす角を $\gamma$ ， $\vec{b}，\vec{c}$ のなす角を $\alpha$ ， $\vec{c}，\vec{a}$ のなす角を $\beta$ とするとき，つぎの関係の成立することを示せ．またここで等号の成立するのはどのような場合か．

$0\leqq \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma -2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma \leqq 1$

2020.09.04記
3つのベクトルでできる平行6面体の体積 $V$ は
四面体の体積を求めるオイラーの公式 - 球面倶楽部零八式 mark II
から
$V^2=1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma$
となる． $0\leqq V^2\leqq 1$ により成立する．