[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2020.10.13記

[1] 放物線 $y =x^2+\dfrac{1}{4}$ の頂点と異なる一点における接線と法線（接点を通り，接線に垂直な直線）が $x$ 軸と交わる点をそれぞれ $\rm P，Q$ とするとき，線分 $\rm PQ$ の長さの最小値を求めよ．

2020.10.13記
頑張って計算しよう

[1] $f(t)=x^2+\dfrac{1}{4}$ とする．

頂点と異なる点の $x$ 座標を $t\neq 0$ とすると，接線の式，法線の式から $\rm P$ の $x$ 座標は $t-\dfrac{f(t)}{f'(t)}$ ， $\rm Q$ の $x$ 座標は $t+f(t)f'(t)$ となる．

よって ${\rm PQ}=\Bigl|2t^3+t+\dfrac{1}{8t}\Bigr|$ となる．絶対値の中を $g(t)$ とおくと，これは奇関数だから， $t\gt 0$ の範囲の最小値を考えれば十分である．

普通に微分して増減表をかくと， $t=\dfrac{1}{\sqrt{12}}$ のとき最小値 $\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$ をとる．