1993年(平成5年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.07記

[1] 3次関数 $f(x)=x^3+ax^2+bx$ は極大値と極小値をもち，それらを区間 $-1\leqq x\leqq 1$ 内でとるものとする．この条件をみたすような実数の組 $(a,b)$ の範囲を $ab$ 平面上に図示せよ．

[2] 整数からなる数列 $\{a_n\}$ を漸化式 $a_1=1$ ， $a_2=3$ ， $a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_n$ （ $n=1$ ， $2$ ，……）で定める． $a_n$ が偶数となる $n$ を決定せよ．

[3] $xyz$ 空間内の原点を中心とする半径 $1$ の球面
$S=\{(x,y,z)\,|\,x^2+y^2+z^2=1，x，y，zは実数 \}$
を考え， $S$ 上の定点 $(0,0,1)$ を $\mbox{A}$ とする．

$\mbox{A}$ とことなる $S$ 上の点 $\mbox{P}(x,y,z)$ に対し，直線 $\mbox{AP}$ と $xy$ 平面の交点を $\mbox{Q}(u,v,0)$ とする．

$k$ を正の定数とし，点 $\mbox{P}$ が $x^2+y^2+z^2=1$ ， $x\geqq \dfrac{1}{k}$ ， $y\geqq \dfrac{1}{k}$ ， $z\geqq \dfrac{1}{k}$ を満たしながら動くとき，対応する点 $\mbox{Q}$ の動く範囲を $uv$ 平面上に図示せよ．

[4] $0\leqq t\leqq 2$ の範囲にある $t$ に対し，方程式 $x^4-2x^2-1+t=0$ の実数解のうち最大のものを $g_1(t)$ ，最小のものを $g_2(t)$ とおく．
$\displaystyle\int_{0}^{2} (g_1(t)-g_2(t))\,dt$ を求めよ．