1999年(平成11年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.11記

[1] (1) 一般角 $\theta$ に対して $\sin\theta$ ， $\cos\theta$ の定義を述べよ．

(2) (1)で述べた定義にもとづき，一般角 $\alpha$ ， $\beta$ に対して
$\sin (\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ ，
$\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
を証明せよ．

[2] 次の2つの条件(a)，(b)を同時に満たす複素数 $z$ 全体の集合を複素数平面上に図示せよ．

(a) $2z$ ， $\dfrac{2}{z}$ の実部はいずれも整数である．

(b) $|z|\geqq 1$ である．

[3] $c$ を $c\gt \dfrac{1}{4}$ を満たす実数とする． $xy$ 平面上の放物線 $y=x^2$ を $A$ とし，
直線 $y=x-c$ に関して $A$ と対称な放物線を $B$ とする．点 $\mbox{P}$ が放物線 $A$ 上を動き，点 $\mbox{Q}$ が放物線 $B$ 上を動くとき，線分 $\mbox{PQ}$ の長さの最小値を $c$ を用いて表せ．

[4] (1) 四面体 $\mbox{ABCD}$ の各辺はそれぞれ確率 $\dfrac{1}{2}$ で電流を通すものとする．
このとき，頂点 $\mbox{A}$ から $\mbox{B}$ に電流が流れる確率を求めよ．ただし，各辺が電流を通すか通さないかは独立で，辺以外は電流を通さないものとする．