[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2024.01.07記

[1] 3次関数 $f(x)=x^3+ax^2+bx$ は極大値と極小値をもち，それらを区間 $-1\leqq x\leqq 1$ 内でとるものとする．この条件をみたすような実数の組 $(a,b)$ の範囲を $ab$ 平面上に図示せよ．

2024.01.09記

[解答]
$f'(x)=3x^2+2ax+b=0$ が $-1\leqq x\leqq 1$ に相異2実解をもつ条件を求めれば良く，

(i) 判別式正により $a^2-3b\gt 0$ ，つまり $b\lt\dfrac{a^2}{3}$

(ii) $-1\leqq(軸のx座標)=-\dfrac{a}{3}\leqq 1$ により $-3\leqq a\leqq 3$

(iii) 端点条件より $f'(-1)\geqq 0$ ， $f'(1)\geqq 0$ だから $b\geqq 2a-3$ ， $b\geqq -2a-3$

(i)〜(iii) を図示すれば良い（図示略）．