1989年(昭和64年)東京大学-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] $a\gt 0$ に対して次の二つの放物線を考える．
$C_1: y=x^2+\dfrac{1}{a^2} \quad C_2:y=-(x-a)^2$

(1) $C_1，C_2$ の両方に接するような直線がつねに $2$ 本存在することを示せ．

(2) (1)で定まる四つの接点が作る四角形の面積 $S(a)$ の最小値を求めよ．

2021.01.23記
放物線は相似．

[解答]
$C_1$ と $C_2$ は頂点の中点 ${\rm M}\Bigl(\dfrac{a}{2},\dfrac{1}{2a^2}\Bigr)$ について点対称である．

${\rm M}$ は $C_1$ の下側にあるので， ${\rm M}$ から $C_1$ に2本の接線を引くことができ，この2本の接線は $C_1$ と $C_2$ が ${\rm M}$ について点対称であることから， $C_2$ にも接するので，題意は証明された．

(2) $M$ から $C_1$ に引いた接線の接点の $x$ 座標は， $x=\dfrac{a}{2}$ における $C_1$ と $M$ の $x$ 座標の差 $d=\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{1}{2a^2}$ を用いて $x=\dfrac{a}{2}\pm\sqrt{d}$ となり， $\rm M$ と2接点でできる三角形の面積は $\dfrac{(2\sqrt{d})^3}{4}=2d^{3/2}$ となる．