1996年(平成8年)東京大学前期-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.14記

[4] $xyz$ 空間において，点 $\mbox{P}$ を $(1,0,1)$ ，点 $\mbox{Q}$ を $(a,a+1,0)$ とする．線分 $\mbox{PQ}$ を $z$ 軸のまわりに $1$ 回転して得られる曲面と平面 $z=1$ および $xy$ 平面で囲まれる部分の体積を $V(a)$ とおく． $a$ が実数全体を動くときの $V(a)$ の最小値およびそれを与える $a$ の値を求めよ．

2021.01.20記
文系でも $\displaystyle \int (ax+b)^ndx=\dfrac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+C$ が使えるようにしておこう．

[解答]
$\rm PQ$ と平面 $z=k$ の交点は $(a+(1-a)k, 1+a-(1+a)k,k)$ だから，断面積は
$\pi [\{a+(1-a)k\}^2+(1+a)^2(k-1)^2]$
これを $k=0$ から $1$ まで積分すると
$\pi\Bigl[ \dfrac{1}{3(1-a)}\{a+(1-a)k\}^3+\dfrac{(a+1)^2}{3}(k-1)^3\Bigl]_0^1$ $=\dfrac{\pi}{3}\Bigl\{ \dfrac{1-a^3}{1-a}+(a+1)^2\Bigl\}$ $=\dfrac{\pi}{3}(2a^2+3a+2)$ $=\dfrac{2\pi}{3}\Bigl\{\Bigl(a+\dfrac{3}{4}\Bigr)^2+\dfrac{7}{16}\Bigr\}$
となるので，
$a=-\dfrac{3}{4}$ のとき最小値 $\dfrac{7\pi}{24}$ をとる．