1987年(昭和62年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[4] $xyz$ 空間において，点 $\mbox{P}$ は $yz$ 平面上の放物線 $z=1-y^2$ 上にあるとする．点 $\mbox{A}(1,0,1)$ と $\mbox{P}$ を結ぶ直線を $x$ 軸のまわりに回転して得られる曲面と二平面 $x=0$ ， $x=1$ とによって囲まれる部分の体積を $V$ とする． $V$ を $\mbox{P}$ の $y$ 座標で表せ．また $V$ の最小値を求めよ．

2021.01.20記

[解答]
${\rm P}(0,p,1-p^2)$ とおくと， $\rm AP$ と平面 $x=t$ の交点の座標は $(t,p(1-t),1-p^2+tp^2)$ だから求める立体の断面積は
$\pi\{p^2(1-t)^2+(1-p^2+p^2t)^2\}$
となる．よって，これを 0 から 1 まで積分して，
$V=\pi\Bigl[ \dfrac{p^2}{3}(1-t)^3+\dfrac{1}{3p^2}(1-p^2+p^2t)^3\Bigr]_0^1$ $=\pi\Bigl\{ \dfrac{p^2}{3}+\dfrac{1-(1-p^2)^3}{3p^2}\Bigr\}$ $=\dfrac{(p^4-2p^2+3)\pi}{3}$
となる．
$p^4-2p^2+3\geqq 2$ （等号は $p=\pm 1$ ）により
$V$ は $p=\pm 1$ のとき最小値 $\dfrac{2\pi}{3}$ をとる．