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東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2003年(平成15年)東京大学前期-数学(理科)

2024.02.13記

[1] $a$ ， $b$ ， $c$ を実数とし， $a\neq 0$ とする．
2次関数 $f(x)=ax^2+bx+c$ が次の条件(A)，(B)を満たすとする．

(A) $f(-1)=-1$ ， $f(1)=1$

(B) $-1\leqq x\leqq 1$ を満たすすべての $x$ に対し， $f(x) \leqq 3x^2-1$

このとき，積分 $I=\displaystyle\int_{-1}^{1} (f'(x))^2 \,dx$ の値のとりうる範囲を求めよ．

[2] $\mbox{O}$ を原点とする複素数平面上で $6$ を表す点を $\mbox{A}$ ， $7+7i$ を表す点を $\mbox{B}$ とする．ただし， $i$ は虚数単位である．正の実数 $t$ に対し， $\dfrac{14(t-3)}{(1-i)t-7}$ を表す点 $\mbox{P}$ をとる．

(1) $\angle\mbox{APB}$ を求めよ．

(2) 線分 $\mbox{OP}$ の長さが最大になる $t$ を求めよ．

[3] $xyz$ 空間において，平面 $z=0$ 上の原点を中心とする半径 $2$ の円を底面とし，点 $(0,0,1)$ を頂点とする円錐(すい)を $A$ とする．次に，平面 $z=0$ 上の点 $(1,0,0)$ を中心とする半径 $1$ の円を $H$ ，平面 $z=1$ 上の点 $(1,0,1)$ を中心とする半径 $1$ の円を $K$ とする． $H$ と $K$ を2つの底面とする円柱を $B$ とする．円錐 $A$ と円柱 $B$ の共通部分を $C$ とする．

$0\leqq t\leqq 1$ を満たす実数 $t$ に対し，平面 $z=t$ による $C$ の切り口の面積を $S(t)$ とおく．

(1) $0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ とする． $t=1-\cos\theta$ のとき， $S(t)$ を $\theta$ で表せ．

(2) $C$ の体積 $\displaystyle\int_{0}^{1} S(t)\,dt$ を求めよ．

[4] 2次方程式 $x^2-4x-1=0$ の $2$ つの実数解のうち大きいものを $\alpha$ ，小さいものを $\beta$ とする． $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，… に対し， $s_n=\alpha^n+\beta^n$ とおく．

(1) $s_1$ ， $s_2$ ， $s_3$ を求めよ．また， $n\geqq 3$ に対し， $s_n$ を $s_{n-1}$ と $s_{n-2}$ で表せ．

(2) $\beta^3$ 以下の最大の整数を求めよ．

(3) $\alpha^{2003}$ 以下の最大の整数の $1$ の位の数を求めよ．

[5] さいころを $n$ 回振り，第 $1$ 回目から第 $n$ 回目までに出たさいころの目の数 $n$ 個の積を $X_n$ とする．

(1) $X_n$ が $5$ で割り切れる確率を求めよ．

(2) $X_n$ が $4$ で割り切れる確率を求めよ．

(3) $X_n$ が $20$ で割り切れる確率を $p_n$ とおく． $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\log(1-p_n)$ を求めよ．

注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする．

[6] 円周率が $3.05$ より大きいことを証明せよ．

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