1996年(平成8年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.14記

[1] $a$ を実数とする．行列 $X=\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix}$ が $X^2-2X+aE=O$ を満たすような実数 $x$ ， $y$ を求めよ．
ただし， $E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ ， $O=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ とする．

[2] $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を正の数とする．不等式
$\left\{\begin{array}{l}s(1-a)-tb\gt 0 \\-sc+t(1-d)\gt 0\end{array}\right.$
を同時に満たす正の数 $s$ ， $t$ があるとき， $2$ 次方程式 $x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0$ は $-1\lt x\lt 1$ の範囲に異なる $2$ つの実数解をもつことを示せ．

[3] $xy$ 平面上の点 $\mbox{P}(a,b)$ に対し，正方形 $S(\mbox{P})$ を連立不等式 $|x-a|\leqq\dfrac{1}{2}$ ， $|y-b|\leqq\dfrac{1}{2}$ の表す領域として定め，原点と $S(\mbox{P})$ の点との距離の最小値を $f(\mbox{P})$ とする．点 $(2,1)$ を中心とする半径 $1$ の円周上を $\mbox{P}$ が動くとき， $f(\mbox{P})$ の最大値を求めよ．

[4] $xyz$ 空間において，点 $\mbox{P}$ を $(1,0,1)$ ，点 $\mbox{Q}$ を $(a,a+1,0)$ とする．線分 $\mbox{PQ}$ を $z$ 軸のまわりに $1$ 回転して得られる曲面と平面 $z=1$ および $xy$ 平面で囲まれる部分の体積を $V(a)$ とおく． $a$ が実数全体を動くときの $V(a)$ の最小値およびそれを与える $a$ の値を求めよ．

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