1985年(昭和60年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.26記

[4] $a$ ， $b$ を実数とし， $A=\begin{pmatrix} a & 0 \\ a-b & b \end{pmatrix}$ とおく．

(1) 行列 $A^n$ （ $n=1$ ， $2$ ，……）の表す一次変換による点 $\mbox{P}\left(\dfrac{1}{2},0\right)$ ，
$\mbox{Q}\left(\dfrac{1}{2},1\right)$ ， $\mbox{R}(1,1)$ の像をそれぞれ $\mbox{P}_n$ ， $\mbox{Q}_n$ ， $\mbox{R}_n$ とし， $f_n=3\overline{\mbox{P}_n\mbox{Q}_n}^2$ $+2\overline{\mbox{Q}_n\mbox{R}_n}^2$ $+2\overline{\mbox{R}_n\mbox{P}_n}^2$ とおく．（ここで， $\overline{\mbox{CD}}$ は線分 $\mbox{CD}$ の長さを表す．） $f_n$ を $a$ ， $b$ を用いて表せ．

(2) $a=1.1$ ， $b=\dfrac{1}{1.1}$ であるとして， $f_n$ の値を最小にするような自然数 $n$ を求めよ．

2020.12.14記
下三角行列の $n$ 乗を考えると $A^n=\begin{pmatrix} a^n & 0 \\ \ast & b^n\end{pmatrix}$ の形になることがわかるが，当時の常識である

「(1,2)成分が0なら固有ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ をもつ」

を利用すると(1) の $\vec{\rm OR}$ が固有ベクトルとあわせて，
$A^n\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a^n & 0 \\ 0 & b^n \end{pmatrix}$
がわかり， $A^n=\begin{pmatrix} a^n & 0 \\ a^n-b^n & b^n \end{pmatrix}$
がわかる．

(1) $\vec{a}=(1,1)^{\top}，\vec{b}=(0,1)^{\top}$ とおくと，
$\vec{\rm OP}=\dfrac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})$ ， $\vec{\rm OQ}=\dfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$ ， $\vec{\rm OR}=\vec{a}$ ，
が成立するので，
$\vec{\rm PQ}=\vec{b}$ ， $\vec{\rm QR}=\dfrac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})$ ， $\vec{\rm PR}=\dfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$
と計算したところで、いいかげんに四角形 $\rm OPRQ$ が平行四辺形になることに気付くだろう．

[大人の解答]
(1) 四角形 $\rm OPRQ$ は平行四辺形なので，
対角線の交点を $\rm S$ とおくと、中線定理により、
$\overline{{\rm R}_n{\rm P}_n}{}^2+\overline{{\rm R}_n{\rm Q}_n}{}^2$ $=2(\overline{{\rm R}_n{\rm S}_n}{}^2+\overline{{\rm P}_n{\rm S}_n}{}^2)$ $=\dfrac{1}{2}(\overline{{\rm O}_n{\rm R}_n}{}^2+\overline{{\rm P}_n{\rm Q}_n}{}^2)$
となるので，
$f_n=4\overline{{\rm P}_n{\rm Q}_n}{}^2+\overline{{\rm O}_n{\rm R}_n}{}^2$
が成立する．ここで $\vec{\rm PQ}=(0,1)^{\top}，\vec{\rm OR}=(1,1)^{\top}$ は $A$ の固有値 $b，a$ に対応する固有ベクトルであるから，
$f_n=4b^{2n}\overline{{\rm P}{\rm Q}}{}^2+a^{2n}\overline{{\rm OR}}{}^2=2a^{2n}+4b^{2n}$
（∵ $\rm PQ=1，OR=\sqrt{2}$ ）

(2) $f_n=2a^{2n}+\dfrac{4}{a^{2n}}=2\Bigl(a^n-\dfrac{\sqrt{2}}{a^n}\Bigr)^2+4\sqrt{2}$
であるから， $a=1.1$ より単調増加な関数
$g(n)=a^n-\dfrac{\sqrt{2}}{a^n}$
の絶対値が最小となる $n$ を求める．
$g(1)=1.1-\dfrac{\sqrt{2}}{1.1}=1.1-1.285...=-0.185...$ ，
$g(2)=1.21-\dfrac{\sqrt{2}}{1.1}$ $=1.21-\dfrac{1.285...}{1.1}$ $=1.21-1.168...=0.04...$ ，
であるから， $n=2$ で最小となる．