1996年(平成8年)東京大学後期-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.15記

[1] $n$ を正の整数とし， $n$ 個のボールを $3$ つの箱に分けて入れる問題を考える．ただし， $1$ 個のボールも入らない箱があってもよいものとする．以下に述べる $4$ つの場合について，それぞれ相異なる入れ方の総数を求めたい．

(1) $1$ から $n$ まで異なる番号のついた $n$ 個のボールを， $A$ ， $B$ ， $C$ と区別された3つの箱に入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか．

(2) 互いに区別のつかない $n$ 個のボールを， $A$ ， $B$ ， $C$ と区別された3つの箱に入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか．

(3) $1$ から $n$ まで異なる番号のついた $n$ 個のボールを，区別のつかない $3$ つの箱に入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか．

(4) $n$ が $6$ の倍数 $6m$ であるとき， $n$ 個の互に区別のつかないボールを，区別のつかない $3$ つの箱に入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか．

[2] $3$ 辺の長さが $\mbox{BC}=2a$ ， $\mbox{CA}=2b$ ， $\mbox{AB}=2c$ であるような鋭角三角形 $\triangle\mbox{ABC}$ の3辺 $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CA}$ ， $\mbox{AB}$ の中点をそれぞれ $\mbox{L}$ ， $\mbox{M}$ ， $\mbox{N}$ とする．線分 $\mbox{LM}$ ， $\mbox{MN}$ ， $\mbox{NL}$ に沿って三角形を折り曲げ，四面体をつくる．その際，線分 $\mbox{BL}$ と $\mbox{CL}$ ， $\mbox{CM}$ と $\mbox{AM}$ ， $\mbox{AN}$ と $\mbox{BN}$ はそれぞれ同一視されて，長さが $a$ ， $b$ ， $c$ の辺になるものとする．